Συναρτήσεις

Συνάρτηση είναι μια διαδικασία που αντιστοιχίζει κάθε στοιχείο x ενός συνόλου σε ένα μόνο στοιχείο f(x). Εδώ θα βρεις την έννοια της συνάρτησης, το πεδίο ορισμού, τη γραφική παράσταση σε καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και τη σύνθεση συναρτήσεων, από τη Β΄ Γυμνασίου ως τη Γ΄ Λυκείου.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.2 Συναρτήσεις

Βασικοί τύποι και κανόνες

Η έννοια της συνάρτησης · Β΄ Γυμνασίου →

Συνάρτηση είναι μια διαδικασία με την οποία κάθε τιμή της μεταβλητής x αντιστοιχίζεται σε μία μόνο τιμή της μεταβλητής y.

Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης · Β΄ Γυμνασίου →

Κάθε σημείο M του επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα διατεταγμένο ζεύγος (x, y): η x λέγεται τετμημένη και η y τεταγμένη του M· μαζί λέγονται συντεταγμένες.

Συμμετρικό του (α, β): ως προς x′x → (α, −β) ως προς y′y → (−α, β) ως προς O → (−α, −β)

Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των σημείων (x, y) του επιπέδου των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν τον τύπο της.

Η έννοια της συνάρτησης · Α΄ Λυκείου →

Συνάρτηση από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B λέγεται μια διαδικασία (κανόνας) με την οποία κάθε στοιχείο του A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο του B.

Όταν δίνεται μόνο ο τύπος, πεδίο ορισμού είναι το ευρύτερο υποσύνολο του ℝ στο οποίο ο τύπος έχει νόημα:

Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα · Γ΄ Λυκείου →

Συνάρτηση από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B είναι μια διαδικασία f με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο y = f(x) του B. Το A λέγεται πεδίο ορισμού, το x ανεξάρτητη και το y εξαρτημένη μεταβλητή.

Σύνολο τιμών f(A): όλες οι τιμές f(x) για x ∈ A.

Γραφική παράσταση C_f: το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), x ∈ A.

f γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ στο Δ ισχύει f(x₁) < f(x₂)· γνησίως φθίνουσα όταν f(x₁) > f(x₂).

Η f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x₀ όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x₀).

Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής · Γ΄ Λυκείου →

Αν η g είναι παραγωγίσιμη στο x και η f στο g(x), τότε (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) (κανόνας της αλυσίδας).

(g^ν)′ = νg^ν−1g′ (√g)′ = g′2√g (e^g)′ = e^gg′ (ln g)′ = g′g

(ημg)′ = συνg · g′ (συνg)′ = −ημg · g′

Η παράγωγος της f′ λέγεται δεύτερη παράγωγος: f″ = (f′)′. Στην κίνηση, η παράγωγος της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση: α(t) = υ′(t) = S″(t).

Ο ρυθμός μεταβολής του y = f(x) ως προς x, στο x₀, είναι f′(x₀).

Συναρτήσεις · Γ΄ Λυκείου →

Έστω A υποσύνολο του ℝ. Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A λέγεται μια διαδικασία f με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y = f(x).

Σύνολο τιμών της f: f(A) = {y : y = f(x) για κάποιο x ∈ A}.

Γραφική παράσταση της f: C_f = {M(x, y) : y = f(x), x ∈ A}.

log_αx = y ⇔ α^y = x α^log_αx = x log_αα^x = x ln e^x = x e^{ln x} = x

log_α(x₁x₂) = log_αx₁ + log_αx₂ log_αx₁x₂ = log_αx₁ − log_αx₂ log_αx^κ = κ log_αx

Λυμένες ασκήσεις: Συναρτήσεις

Τιμή συνάρτησης

Από το μάθημα «Η έννοια της συνάρτησης» · Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Δίνεται η συνάρτηση y = x² − 4x + 2. Να βρείτε τις τιμές της για x = 1 και για x = −1.

Υποδείξεις

Αντικατάστησε προσεκτικά (αρνητικά σε παρένθεση).

Λύση και απάντηση

y(1) = −1, y(−1) = 7.

Απάντηση: y(1) = −1 · y(−1) = 7

Σημεία τομής με τους άξονες

Από το μάθημα «Γραφική παράσταση συνάρτησης» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f(x) = x² − 1 με τον άξονα x′x (τετμημένες) και με τον άξονα y′y (τεταγμένη).

Υποδείξεις

Με x′x: f(x) = 0. Με y′y: x = 0.

Λύση και απάντηση

f(x) = 0 ⇒ x = −1 ή x = 1 (βάλε πρώτα τη μικρότερη).
f(0) = −1.

Απάντηση: x₁ = −1 · x₂ = 1 · y = −1

Σύνθεση συναρτήσεων

Από το μάθημα «Συναρτήσεις» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Δίνονται οι συναρτήσεις f(x) = −x + 5 και g(x) = x² − 4. Να βρείτε τις τιμές (f∘g)(0) και (g∘f)(0).

Υποδείξεις

(f∘g)(x) = f(g(x)): πρώτα υπολογίζεις το g, μετά το f.
Η σύνθεση δεν είναι αντιμεταθετική: γενικά f∘g ≠ g∘f.

Λύση και απάντηση

g(0) = −4 ⇒ (f∘g)(0) = f(−4) = 9.
f(0) = 5 ⇒ (g∘f)(0) = g(5) = 21.

Απάντηση: (f∘g)(0) = 9 · (g∘f)(0) = 21

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

Μια αντιστοιχία είναι συνάρτηση όταν:
- Έχει μόνο ένα x
- Σε κάθε x αντιστοιχούν δύο y
- Σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y
- Το y είναι πάντα μηδέν
Δες την απάντηση
Σωστό: Σε κάθε τιμή του x αντιστοιχεί μία μόνο τιμή του y. Στη συνάρτηση κάθε x έχει μοναδικό y.
Περισσότερες: Η έννοια της συνάρτησης (Β΄ Γυμνασίου)
Η τετμημένη του σημείου Μ(−2, 5) είναι:
- 3
- 5
- −2
- −5
Δες την απάντηση
Σωστό: −2. Η τετμημένη είναι η πρώτη συντεταγμένη.
Περισσότερες: Καρτεσιανές συντεταγμένες – Γραφική παράσταση συνάρτησης (Β΄ Γυμνασίου)
Μια συνάρτηση f από το Α στο ℝ αντιστοιχίζει:
- Κανένα στοιχείο
- Σε κάθε x δύο y
- Σε κάθε x ∈ Α ένα μοναδικό y
- Σε κάθε y ένα x
Δες την απάντηση
Σωστό: Σε κάθε x ∈ Α ένα μοναδικό y. Ορισμός συνάρτησης.
Περισσότερες: Η έννοια της συνάρτησης (Α΄ Λυκείου)
Το πεδίο ορισμού της f(x) = √(x − 2) είναι:
- (2, +∞)
- (−∞, 2]
- [2, +∞)
- ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: [2, +∞). Πρέπει x − 2 ≥ 0.
Περισσότερες: Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα (Γ΄ Λυκείου)
Η παράγωγος της σύνθετης f(g(x)) είναι:
- f(g′(x))
- f′(g(x))·g′(x)
- f′(g′(x))
- f′(x)·g′(x)
Δες την απάντηση
Σωστό: f′(g(x))·g′(x). Κανόνας της αλυσίδας.
Περισσότερες: Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής (Γ΄ Λυκείου)
Συνάρτηση από το Α στο ℝ είναι μια διαδικασία που αντιστοιχίζει:
- κάθε x σε δύο αριθμούς
- κάθε x ∈ Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό
- κάθε αριθμό στο 0
- μόνο μερικά x του Α
Δες την απάντηση
Σωστό: κάθε x ∈ Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό. Ορισμός.
Περισσότερες: Συναρτήσεις (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Γραφικές παραστάσεις Συναρτήσεις Λύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Μονοτονία και ακρότατα Παράγωγος Η συνάρτηση y = αx + β Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)Λογάριθμοι Μελέτη συνάρτησης Όρια συναρτήσεων Συνέχεια συνάρτησης Όλα τα θέματα →