MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Παράγωγος

Η παράγωγος f′(x₀) δείχνει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται μια συνάρτηση στο x₀ και είναι η κλίση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στο σημείο αυτό. Εδώ θα βρεις τον ορισμό, τους τύπους και τους κανόνες παραγώγισης, την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης, τον ρυθμό μεταβολής και την εξίσωση εφαπτομένης.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Η έννοια της παραγώγου · Γ΄ Λυκείου →

Η παράγωγος της f στο x0 είναι το όριο (αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός):

f′(x0) = limh→0 f(x0 + h) − f(x0)h = limx→x0 f(x) − f(x0)x − x0

Η εφαπτομένη της Cf στο A(x0, f(x0)) είναι η ευθεία που διέρχεται από το A και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f′(x0):

y − f(x0) = f′(x0)(x − x0)

Παράγωγος συνάρτησης – Βασικοί τύποι και κανόνες · Γ΄ Λυκείου →

Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x ενός συνόλου, η συνάρτηση x ↦ f′(x) λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f.

(c)′ = 0.
(x)′ = 1.
(x2)′ = 2x.
(xν)′ = νxν−1  (√x)′ = 12√x (x > 0)  (1x)′ = −1x2

Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου · Γ΄ Λυκείου →

Αν f′(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ (και η f είναι συνεχής στο Δ), τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν f′(x) < 0, είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ.

Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 όταν f(x) ≤ f(x0) για x κοντά στο x0, και τοπικό ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x0).

Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού, και παρουσιάζει τοπικό ακρότατο εκεί, τότε f′(x0) = 0.
(Κριτήριο) Αν η f′ μηδενίζεται στο x0 και αλλάζει πρόσημο από θετικό σε αρνητικό, η f έχει τοπικό μέγιστο στο x0· από αρνητικό σε θετικό, τοπικό ελάχιστο. Αν δεν αλλάζει πρόσημο, δεν έχει ακρότατο στο x0.

Η έννοια της παραγώγου · Γ΄ Λυκείου →

Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο limx→x0 f(x) − f(x0)x − x0 και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο λέγεται παράγωγος της f στο x0, f′(x0).

f′(x0) = limx→x0 f(x) − f(x0)x − x0 = limh→0 f(x0 + h) − f(x0)h

Εφαπτομένη της Cf στο A(x0, f(x0)) είναι η ευθεία που διέρχεται από το A και έχει συντελεστή διεύθυνσης f′(x0):

ε: y − f(x0) = f′(x0)(x − x0)
Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Κανόνες παραγώγισης · Γ΄ Λυκείου →

Αν f, g παραγωγίσιμες στο x0, τότε η f + g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και (f + g)′(x0) = f′(x0) + g′(x0).
(f · g)′(x0) = f′(x0)g(x0) + f(x0)g′(x0).
(cf)′ = cf′  (fgh)′ = f′gh + fg′h + fgh′
Αν f, g παραγωγίσιμες στο x0 και g(x0) ≠ 0: (fg)′(x0) = f′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)[g(x0)]2.
Η f(x) = x−ν, ν ∈ ℕ*, είναι παραγωγίσιμη στο ℝ* με f′(x) = −νx−ν−1.

Ρυθμός μεταβολής · Γ΄ Λυκείου →

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με y = f(x) και η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο x0 είναι η παράγωγος f′(x0).

Λυμένες ασκήσεις: Παράγωγος

Παράγωγος από τον ορισμό

Από το μάθημα «Η έννοια της παραγώγου» · Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Με τον ορισμό της παραγώγου, να βρείτε το f′(2) για την f(x) = −x2 − 6x.
Υποδείξεις
  • f′(2) = limh→0 f(2 + h) − f(2)h.
  • Ανάπτυξε το f(2 + h) και απλοποίησε το h.
Λύση και απάντηση
  1. f(2 + h) − f(2) = −1h² − 10h.
  2. Διαιρούμε με h: −1h − 10 → −10.

Απάντηση: −10

Παράγωγος σε σημείο με απόλυτο

Από το μάθημα «Η έννοια της παραγώγου» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Δίνεται η f(x) = (x + 1)|x + 1| − 4x. Να βρείτε το f′(−1) με τον ορισμό.
Υποδείξεις
  • f′(−1) = limx→−1 f(x) − f(−1)x + 1.
  • Το κλάσμα γίνεται |x + 1| − 4·(x + 1)/(x + 1).
Λύση και απάντηση
  1. f(−1) = 4.
  2. f(x) − f(−1)x + 1 = |x + 1| − 4.
  3. Για x → −1: f′(−1) = 0 − 4 = −4.

Απάντηση: −4

Σκάλα που γλιστράει

Από το μάθημα «Ρυθμός μεταβολής» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Μια σκάλα μήκους 15 m ακουμπά σε κατακόρυφο τοίχο. Η βάση της απομακρύνεται από τον τοίχο με ρυθμό 2 m/s. Με ποιον ρυθμό (σε m/s) κατεβαίνει η κορυφή της τη στιγμή που η βάση απέχει 9 m από τον τοίχο;
Υποδείξεις
  • x² + y² = 225· παραγώγισε ως προς t.
  • 2xx′ + 2yy′ = 0 ⇒ y′ = −xx′/y.
Λύση και απάντηση
  1. Όταν x = 9: y = √(225 − 81) = 12.
  2. y′ = −9·2/12 = −32 m/s.
  3. Η κορυφή κατεβαίνει με ρυθμό 32 m/s.

Απάντηση: 32 m/s

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η παράγωγος της f στο x₀ ορίζεται ως:

    • f(x₀ + 1) − f(x₀)
    • f(x₀)/x₀
    • lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h
    • lim(h→0) f(h)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Όριο του λόγου μεταβολής.

    Περισσότερες: Η έννοια της παραγώγου (Γ΄ Λυκείου)

  2. Η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f(x) = c είναι:

    • 0
    • 1
    • c
    • x
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 0. Ο ρυθμός μεταβολής είναι μηδέν.

    Περισσότερες: Παράγωγος συνάρτησης – Βασικοί τύποι και κανόνες (Γ΄ Λυκείου)

  3. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο ενός διαστήματος Δ, η f είναι:

    • γνησίως αύξουσα στο Δ
    • γνησίως φθίνουσα στο Δ
    • μη συνεχής
    • σταθερή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: γνησίως αύξουσα στο Δ. Κριτήριο μονοτονίας.

    Περισσότερες: Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου (Γ΄ Λυκείου)

  4. Η f είναι παραγωγίσιμη στο x₀ όταν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός το:

    • f(x₀)/x₀
    • lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h
    • lim(h→0) f(h)
    • lim(x→∞) f(x)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: lim(h→0) (f(x₀ + h) − f(x₀))/h. Ορισμός.

    Περισσότερες: Η έννοια της παραγώγου (Γ΄ Λυκείου)

  5. Ισχύει (f·g)′ =

    • f′ + g′
    • f′g + fg′
    • f′g − fg′
    • f′g′
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f′g + fg′. Κανόνας γινομένου.

    Περισσότερες: Κανόνες παραγώγισης (Γ΄ Λυκείου)

  6. Ο ρυθμός μεταβολής του y = f(x) ως προς x στο x₀ είναι:

    • f(x₀)
    • f(x₀)/x₀
    • f′(x₀)
    • f″(x₀)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f′(x₀). Ορισμός.

    Περισσότερες: Ρυθμός μεταβολής (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Παράγωγος & εφαπτομένηΣυναρτήσειςΌρια συναρτήσεωνΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΣυναρτήσειςΜονοτονία και ακρόταταΗ συνάρτηση y = αx + βΗ συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)ΛογάριθμοιΜελέτη συνάρτησηςΌρια συναρτήσεωνΣυνέχεια συνάρτησηςΌλα τα θέματα →