MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Εξίσωση ευθείας

Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής y = λx + β, όπου λ ο συντελεστής διεύθυνσής της, ή γενικά Αx + Βy + Γ = 0. Εδώ θα βρεις πώς βρίσκουμε την εξίσωση μιας ευθείας από σημεία και κλίση, παράλληλες και κάθετες ευθείες, την απόσταση σημείου από ευθεία και το εμβαδόν τριγώνου.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Εξίσωση ευθείας · Β΄ Λυκείου →

Γωνία της ευθείας ε με τον x′x: η γωνία ω (0 ≤ ω < π) που διαγράφει ο x′x στρεφόμενος αριστερόστροφα μέχρι να γίνει παράλληλος με την ε. Συντελεστής διεύθυνσης λ = εφω (για ω ≠ π2).

λ = y2 − y1x2 − x1  (A(x1, y1), B(x2, y2) με x1 ≠ x2)
ε1 ∥ ε2 ⇔ λ1 = λ2  ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1λ2 = −1
Η ευθεία που διέρχεται από το A(x0, y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ έχει εξίσωση y − y0 = λ(x − x0).
Από δύο σημεία (x1 ≠ x2): y − y1 = y2 − y1x2 − x1(x − x1)

Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας · Β΄ Λυκείου →

Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0, με A ≠ 0 ή B ≠ 0· και αντίστροφα, κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει ευθεία.

Η ευθεία Ax + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (B, −A) και κάθετη στο διάνυσμα n = (A, B).

λ = −AB  (B ≠ 0)

Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου · Β΄ Λυκείου →

Η απόσταση του σημείου M0(x0, y0) από την ευθεία ε: Ax + By + Γ = 0 είναι d(M0, ε) = ∣Ax0 + By0 + Γ∣√A2 + B2.
Το εμβαδόν τριγώνου ABΓ είναι (ABΓ) = 12|det(AB, AΓ)|.

Λυμένες ασκήσεις: Εξίσωση ευθείας

Ευθεία από δύο σημεία

Από το μάθημα «Εξίσωση ευθείας» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Να βρείτε την εξίσωση y = λx + β της ευθείας που διέρχεται από τα Α(4, −2) και Β(0, 10).
Υποδείξεις
  • λ = y₂ − y₁x₂ − x₁.
  • β: βάλε τις συντεταγμένες του Α στην y = λx + β.
Λύση και απάντηση
  1. λ = 12−4 = −3.
  2. β = −2 − (−3)·4 = 10.

Απάντηση: λ = −3  ·  β = 10

Παράλληλες ευθείες με παράμετρο

Από το μάθημα «Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Να βρείτε τις τιμές του λ για τις οποίες οι ευθείες (λ + 2)x − 6y + 3 = 0 και 2x + (λ − 6)y − 2 = 0 είναι παράλληλες ή ταυτίζονται.
Υποδείξεις
  • Οι ευθείες A₁x + B₁y + Γ₁ = 0, A₂x + B₂y + Γ₂ = 0 είναι παράλληλες (ή ταυτίζονται) ⇔ A₁B₂ − A₂B₁ = 0.
Λύση και απάντηση
  1. (λ + 2)(λ − 6) − (−6)·2 = 0 ⇔ λ2 − 4λ = 0.
  2. λ = 0 ή λ = 4.

Απάντηση: 0  ή  4

Απόσταση σημείου από ευθεία

Από το μάθημα «Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ(5, −4) από την ευθεία 3x − 4y + 4 = 0.
Υποδείξεις
  • d = |Ax₀ + By₀ + Γ|√(A² + B²).
Λύση και απάντηση
  1. |3·5 − 4·(−4) + 4| = 35.
  2. √(9 + 16) = 5.
  3. d = 7.

Απάντηση: 7

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 3 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας που διέρχεται από Α(1, 2) και Β(3, 8) είναι:

    • 1/3
    • 3
    • 6
    • −3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. (8 − 2)/(3 − 1).

    Περισσότερες: Εξίσωση ευθείας (Β΄ Λυκείου)

  2. Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της μορφής:

    • y = Αx² + Β
    • Αx + Βy + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0
    • Αxy = Γ
    • Αx² + Βy = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Αx + Βy + Γ = 0 με Α ≠ 0 ή Β ≠ 0. Γενική μορφή.

    Περισσότερες: Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας (Β΄ Λυκείου)

  3. Η απόσταση του Μ(x₀, y₀) από την Αx + Βy + Γ = 0 είναι:

    • (Αx₀ + Βy₀ + Γ)/(Α + Β)
    • |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²)
    • |Αx₀ + Βy₀|/√(Α² + Β²)
    • √(x₀² + y₀²)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: |Αx₀ + Βy₀ + Γ|/√(Α² + Β²). Τύπος απόστασης σημείου από ευθεία.

    Περισσότερες: Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Γραφικές παραστάσειςΓεωμετρίαΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΤρίγωναΚριτήρια ισότητας τριγώνωνΠυθαγόρειο θεώρημαΘεώρημα του ΘαλήΌμοια τρίγωνα και ομοιότηταΓωνίεςΠαράλληλες ευθείεςΠαραλληλόγραμμα και τραπέζιαΌλα τα θέματα →