MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Θεώρημα Rolle και θεώρημα μέσης τιμής

Τα θεωρήματα Rolle και μέσης τιμής (Θ.Μ.Τ.) του διαφορικού λογισμού εξασφαλίζουν ότι υπάρχει ένα σημείο ξ στο οποίο η παράγωγος παίρνει μια συγκεκριμένη τιμή, και από αυτά προκύπτουν τα κριτήρια μονοτονίας. Εδώ θα τα βρεις μαζί με τις συνέπειές τους και το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού · Γ΄ Λυκείου →

Θεώρημα Rolle. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό (α, β) και f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = 0.
Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = f(β) − f(α)β − α.

Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής · Γ΄ Λυκείου →

Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ. Αν f′(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.
Έστω f, g συνεχείς σε διάστημα Δ με f′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Τότε υπάρχει σταθερά c ώστε f(x) = g(x) + c για κάθε x ∈ Δ.
Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f′(x) < 0, είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Λυμένες ασκήσεις: Θεώρημα Rolle και θεώρημα μέσης τιμής

Θεώρημα Rolle: όλα τα ξ

Από το μάθημα «Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Η συνάρτηση f(x) = x3 + 6x2 + 3x ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [−5, 1]. Να βρείτε όλα τα ξ ∈ (−5, 1) με f′(ξ) = 0.
Υποδείξεις
  • f′(x) = 3x2 + 12x + 3.
  • Λύσε f′(x) = 0 και έλεγξε ότι οι ρίζες ανήκουν στο διάστημα.
Λύση και απάντηση
  1. f′(x) = 3x2 + 12x + 3 = 0.
  2. Δ = 108, ξ = −2 ± √3.
  3. √3 ≈ 1,73, άρα και οι δύο ανήκουν στο (−5, 1).

Απάντηση: −2 ± √3

Συνάρτηση από την παράγωγό της

Από το μάθημα «Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Για την f ισχύει f′(x) = 3x2 + 10x − 1 για κάθε x ∈ ℝ και f(−1) = −5. Να βρείτε το f(−1).
Υποδείξεις
  • Συνέπεια ΘΜΤ: αν f′ = g′ στο ℝ, τότε f = g + c.
  • Μια αρχική της f′ είναι η x3 + 5x2 − x.
Λύση και απάντηση
  1. f(x) = x3 + 5x2 − x + κ.
  2. f(−1) = 5 + κ = −5 ⇒ κ = −10.
  3. f(−1) = 5 − 10 = −5.

Απάντηση: −5

Μέση τιμή συνάρτησης

Από το μάθημα «Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να βρείτε τη μέση τιμή της f(x) = x² στο [0, 3].
Υποδείξεις
  • Μέση τιμή = 1β − α∫αβ f(x)dx.
Λύση και απάντηση
  1. ∫03 x²dx = 9.
  2. Μέση τιμή = 3 = 3.

Απάντηση: 3

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 3 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Το θεώρημα του Rolle απαιτεί η f να είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και:

    • f(α) = 0
    • f(α) = f(β)
    • f(α)·f(β) < 0
    • f′(α) = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f(α) = f(β). Τότε υπάρχει ξ ∈ (α, β) με f′(ξ) = 0.

    Περισσότερες: Το θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού (Γ΄ Λυκείου)

  2. Αν f′(x) = 0 για κάθε εσωτερικό x ενός διαστήματος Δ (με f συνεχή στο Δ), τότε η f είναι:

    • γνησίως αύξουσα
    • μηδενική
    • περιοδική
    • σταθερή στο Δ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σταθερή στο Δ. Συνέπεια του ΘΜΤ.

    Περισσότερες: Συνέπειες του θεωρήματος μέσης τιμής (Γ΄ Λυκείου)

  3. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β], υπάρχει ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε:

    • f(ξ) = (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx
    • f(ξ) = 0
    • f(ξ) = f(α) + f(β)
    • f′(ξ) = 0
    Δες την απάντηση

    Σωστό: f(ξ) = (1/(β − α))∫ₐᵇ f(x)dx. ΘΜΤ ολοκληρωτικού λογισμού.

    Περισσότερες: Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Παράγωγος & εφαπτομένηΣυναρτήσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΣυναρτήσειςΗ συνάρτηση y = αx + βΗ συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)ΛογάριθμοιΜονοτονία και ακρόταταΜελέτη συνάρτησηςΌρια συναρτήσεωνΣυνέχεια συνάρτησηςΌλα τα θέματα →