MathGreeceMathGreece

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

Μάθημα 1.7 Διαίρεση πολυωνύμων της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, στην ενότητα «Αλγεβρικές παραστάσεις». Εδώ θα βρεις λυμένες δύσκολες ασκήσεις, 10 ερωτήσεις κουίζ και 4 προτάσεις Σωστό–Λάθος με τις απαντήσεις και την εξήγησή τους. Στο MathGreece μπορείς να τα λύσεις και διαδραστικά, με άμεση διόρθωση.

✍ Εξάσκηση

Νέες δύσκολες ασκήσεις κάθε φορά, με υποδείξεις και λύση.

Λύσε ασκήσεις

✔ Κουίζ

10 ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής με άμεση διόρθωση.

Κάνε το κουίζ

✓✗ Σωστό – Λάθος

Δύσκολες προτάσεις με εξήγηση.

Ξεκίνα

⏱ Διαγώνισμα

Διαγώνισμα με χρονόμετρο και βαθμό στα 20.

Γράψε διαγώνισμα

Λυμένες ασκήσεις: Διαίρεση πολυωνύμων

Πηλίκο και υπόλοιπο

Να κάνετε τη διαίρεση (x3 − 2x + 2) : (x − 1). Αν το πηλίκο είναι x² + αx + β και το υπόλοιπο υ, να βρείτε α, β, υ.
Υποδείξεις
  • Κάνε την ευκλείδεια διαίρεση (ή σχήμα Horner).
  • Έλεγχος: Δ = δ·π + υ.
Λύση και απάντηση
  1. Πηλίκο: x2 + x − 1, υπόλοιπο: 1.

Απάντηση: α = 1  ·  β = −1  ·  υ = 1

Παράμετρος για τέλεια διαίρεση

Να βρείτε το λ ώστε η διαίρεση (x³ + 4x² + 5x + λ) : (x − 1) να είναι τέλεια.
Υποδείξεις
  • Τέλεια διαίρεση ⇔ υπόλοιπο 0 ⇔ P(1) = 0.
Λύση και απάντηση
  1. P(1) = 10 + λ = 0 ⇒ λ = −10.

Απάντηση: −10

Στην Εξάσκηση θα βρεις ασκήσεις τύπου: Πηλίκο και υπόλοιπο · Παράμετρος για τέλεια διαίρεση.

Κουίζ: 10 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Η ταυτότητα της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι:

    • Δ(x) = δ(x) + π(x) + υ(x)
    • Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x)
    • Δ(x) = δ(x) − υ(x)
    • Δ(x) = π(x) : δ(x)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x). Διαιρετέος = διαιρέτης · πηλίκο + υπόλοιπο.

  2. Πόσο είναι το πηλίκο της (x² − 1) : (x − 1);

    • 1
    • x + 1
    • x − 1
    • x² + 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x + 1. x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

  3. Πόσο είναι το πηλίκο της (x² + 5x + 6) : (x + 2);

    • x + 2
    • x + 3
    • x + 5
    • x + 6
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x + 3. (x + 2)(x + 3) = x² + 5x + 6.

  4. Πόσο είναι το πηλίκο της (6x³) : (2x);

    • 3x
    • 3x²
    • 3x⁴
    • 4x²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3x². 6 : 2 = 3 και x³ : x = x².

  5. Σε τέλεια διαίρεση το υπόλοιπο είναι:

    • Άπειρο
    • Ίσο με το πηλίκο
    • Ίσο με τον διαιρέτη
    • Μηδέν
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Μηδέν. Τέλεια σημαίνει υ = 0.

  6. Το υπόλοιπο της (x² + 3x + 5) : (x + 1) είναι:

    • 0
    • 1
    • 3
    • 5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 3. x² + 3x + 5 = (x + 1)(x + 2) + 3.

  7. Ο βαθμός του υπολοίπου είναι πάντα:

    • Ίσος με το πηλίκο
    • Ίσος με τον βαθμό του διαιρετέου
    • Μεγαλύτερος του διαιρέτη
    • Μικρότερος του βαθμού του διαιρέτη
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Μικρότερος του βαθμού του διαιρέτη. Η διαίρεση σταματά όταν βαθμός υπολοίπου < βαθμός διαιρέτη.

  8. Αν Δ = (x − 2)(x + 3) + 4, το υπόλοιπο της διαίρεσης με (x − 2) είναι:

    • 0
    • 2
    • 4
    • −3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. Ο όρος 4 έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του x − 2.

  9. Πόσο είναι το πηλίκο της (4x² − 9) : (2x − 3);

    • 2x
    • 2x + 3
    • 2x − 3
    • 4x + 3
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2x + 3. (2x − 3)(2x + 3) = 4x² − 9.

  10. Πόσο είναι το πηλίκο της (x³ − 1) : (x − 1);

    • x² + 1
    • x² + x + 1
    • x² − 1
    • x² − x + 1
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x² + x + 1. x³ − 1 = (x − 1)(x² + x + 1).

Σωστό ή Λάθος

  1. Η διαίρεση πολυωνύμων δίνει πάντα μηδενικό υπόλοιπο.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Όχι πάντα. Ισχύει Δ = δ · π + υ.

  2. Αν το υπόλοιπο είναι 0, η διαίρεση λέγεται τέλεια.

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Ορισμός.

  3. Το υπόλοιπο της διαίρεσης με x − 1 μπορεί να είναι 2ου βαθμού.

    Δες την απάντηση

    Λάθος. Ο βαθμός του υπολοίπου είναι μικρότερος από τον βαθμό του διαιρέτη (1): είναι σταθερό.

  4. (x2 − 1) : (x − 1) = x + 1 (για x ≠ 1).

    Δες την απάντηση

    Σωστό. Τέλεια διαίρεση.

Δες επίσης τα βιντεομαθήματα της Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου στο YouTube.

Άλλα μαθήματα της ενότητας «Αλγεβρικές παραστάσεις»