MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Εξισώσεις 2ου βαθμού

Η εξίσωση αx² + βx + γ = 0, με α ≠ 0, λύνεται με τη διακρίνουσα Δ = β² − 4αγ: αν Δ > 0 έχει δύο ρίζες x = −β ± √Δ2α, αν Δ = 0 μία διπλή ρίζα και αν Δ < 0 καμία πραγματική ρίζα. Εδώ θα βρεις επίλυση με παραγοντοποίηση και με τον τύπο, άθροισμα και γινόμενο ριζών και προβλήματα.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων · Γ΄ Γυμνασίου →

Εξίσωση δευτέρου βαθμού με έναν άγνωστο λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αx2 + βx + γ = 0, με α ≠ 0.

Μετατρέπουμε το πρώτο μέλος σε γινόμενο παραγόντων και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα:

α · β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0
αx2 + βx = 0 ⇔ x(αx + β) = 0 ⇔ x = 0 ή x = −βα
x2 = κ: αν κ > 0, x = ±√κ  αν κ = 0, x = 0  αν κ < 0, αδύνατη

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου · Γ΄ Γυμνασίου →

Για την αx2 + βx + γ = 0 (α ≠ 0) υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

Δ = β2 − 4αγ
Δ > 0: δύο άνισες λύσεις x1,2 = −β ± √Δ2α
Δ = 0: μία διπλή λύση x = −β2α
Δ < 0: η εξίσωση είναι αδύνατη

Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού · Γ΄ Γυμνασίου →

Στα προβλήματα ελέγχουμε αν οι λύσεις είναι δεκτές: π.χ. μήκη, ηλικίες, πλήθη πρέπει να είναι θετικά (και ακέραια όπου χρειάζεται).

Εξισώσεις 2ου βαθμού · Α΄ Λυκείου →

(x + β2α)2 = Δ4α2,  όπου Δ = β2 − 4αγ (διακρίνουσα)
Δ > 0: δύο άνισες λύσεις x1,2 = −β ± √Δ2α
Δ = 0: μία διπλή λύση x = −β2α
Δ < 0: αδύνατη στο ℝ
S = x1 + x2 = −βα  P = x1 · x2 = γα

Λυμένες ασκήσεις: Εξισώσεις 2ου βαθμού

Εξίσωση με κοινό παράγοντα (παγίδα)

Από το μάθημα «Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Να λύσετε την εξίσωση (x − 1)(x ) = (x − 1)(2x − 5).
Υποδείξεις
  • ΜΗΝ διαιρέσεις με (x − 1): χάνεις λύση!
  • Μετέφερε όλα στο ένα μέλος και βγάλε κοινό παράγοντα.
Λύση και απάντηση
  1. (x − 1)[(x ) − (2x − 5)] = 0 ⇒ (x − 1)(−x + 5) = 0.
  2. x = 1 ή x = 5.

Απάντηση: 1  ή  5

Ορθογώνιο από εμβαδόν και περίμετρο

Από το μάθημα «Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Ένα ορθογώνιο έχει περίμετρο 42 m και εμβαδόν 108 m². Να βρείτε τις διαστάσεις του.
Υποδείξεις
  • Αν x το μήκος, το πλάτος είναι 21 − x.
  • x(21 − x) = 108.
Λύση και απάντηση
  1. x² − 21x + 108 = 0 ⇒ x = 12 ή x = 9.
  2. Διαστάσεις: 12 m × 9 m.

Απάντηση: μήκος = 12  ·  πλάτος = 9

Εξίσωση 2ου βαθμού με παράμετρο: ρίζα γνωστή

Από το μάθημα «Εξισώσεις 2ου βαθμού» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Η εξίσωση x² + λx + 3 = 0 έχει ρίζα το 1. Να βρείτε το λ και την άλλη ρίζα.
Υποδείξεις
  • Αφού το 1 είναι ρίζα, την επαληθεύει.
  • Ή με Vieta: x₁x₂ = 3.
Λύση και απάντηση
  1. x₁x₂ = 3 ⇒ x₂ = 3/1 = 3.
  2. λ = −(x₁ + x₂) = −4.

Απάντηση: λ = −4  ·  άλλη ρίζα = 3

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 4 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Οι λύσεις της x² = 9 είναι:

    • x = 3
    • x = 3 ή x = −3
    • x = 81
    • x = 9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 3 ή x = −3. x² = 9 ⇔ x = ±3.

    Περισσότερες: Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων (Γ΄ Γυμνασίου)

  2. Η διακρίνουσα της αx² + βx + γ = 0 είναι:

    • Δ = 4αγ − β
    • Δ = α² − 4βγ
    • Δ = β² + 4αγ
    • Δ = β² − 4αγ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δ = β² − 4αγ. Ο γνωστός τύπος της διακρίνουσας.

    Περισσότερες: Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου (Γ΄ Γυμνασίου)

  3. Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι 56. Ποιοι μπορεί να είναι;

    • 6 και 9
    • 7 και 8
    • 8 και 9
    • −7 και 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7 και 8. x(x + 1) = 56 ⇒ x = 7.

    Περισσότερες: Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού (Γ΄ Γυμνασίου)

  4. Η διακρίνουσα της αx² + βx + γ = 0 είναι:

    • Δ = 4αγ
    • Δ = α² − 4βγ
    • Δ = β² + 4αγ
    • Δ = β² − 4αγ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δ = β² − 4αγ. Βασικός τύπος.

    Περισσότερες: Εξισώσεις 2ου βαθμού (Α΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Εξισώσεις & ανισώσειςΠαραγοντοποίησηΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΠαραγοντοποίησηΕξισώσεις 1ου βαθμούΑνισώσειςΓραμμικά συστήματαΑπόλυτη τιμήΑξιοσημείωτες ταυτότητεςΠολυώνυμαΡητές αλγεβρικές παραστάσειςΌλα τα θέματα →