MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Εξισώσεις 1ου βαθμού

Εξίσωση πρώτου βαθμού είναι κάθε εξίσωση που γράφεται στη μορφή αx + β = 0· τη λύνουμε χωρίζοντας γνωστούς από αγνώστους, και αν α ≠ 0 έχει μοναδική λύση x = −βα. Εδώ θα βρεις εξισώσεις από τις απλές του Δημοτικού μέχρι αυτές του Λυκείου, μαζί με προβλήματα που λύνονται με εξισώσεις.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Μαθηματικά ΣΤ΄ Δημοτικού

Άλγεβρα Α΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος · ΣΤ΄ Δημοτικού →

Εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει αριθμούς και ένα γράμμα (συνήθως x) στη θέση ενός άγνωστου αριθμού.

Λύνω την εξίσωση σημαίνει ότι βρίσκω τον αριθμό που, αν μπει στη θέση του x, κάνει την ισότητα αληθινή (λύση).

Αν x + α = β, τότε x = β − α (ο άγνωστος προσθετέος βρίσκεται με αφαίρεση).

Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου · ΣΤ΄ Δημοτικού →

Αν α · x = β (α ≠ 0), τότε x = β : α (ο άγνωστος παράγοντας βρίσκεται με διαίρεση).

Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α+x=β, x–α=β, α–x=β, αx=β, α:x=β και x:α=β · Α΄ Γυμνασίου →

Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει έναν αριθμό άγνωστο, τον οποίο συμβολίζουμε με ένα γράμμα (συνήθως x).

Λύση (ή ρίζα) της εξίσωσης λέγεται ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα. Η διαδικασία εύρεσης της λύσης λέγεται επίλυση.

α + x = β ⇒ x = β − α  x − α = β ⇒ x = β + α  α − x = β ⇒ x = α − β
α · x = β ⇒ x = β : α  x : α = β ⇒ x = β · α  α : x = β ⇒ x = α : β

Εξισώσεις α΄ βαθμού · Β΄ Γυμνασίου →

Εξίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό x. Λύση ή ρίζα της είναι ο αριθμός που την επαληθεύει.

Μια ισότητα παραμένει αληθής αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στα δύο μέλη της.

Μια ισότητα παραμένει αληθής αν πολλαπλασιάσουμε ή διαιρέσουμε και τα δύο μέλη της με τον ίδιο αριθμό (≠ 0 για διαίρεση).

αx = β:  α ≠ 0 → x = βα  α = 0, β ≠ 0 → αδύνατη  α = 0, β = 0 → ταυτότητα (αόριστη)

Αδύνατη λέγεται η εξίσωση που δεν έχει καμία λύση (π.χ. 0x = 5). Ταυτότητα (αόριστη) λέγεται η εξίσωση που επαληθεύεται από κάθε αριθμό (0x = 0).

Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων · Β΄ Γυμνασίου →

Διαδοχικοί ακέραιοι: x, x + 1, x + 2  Διαδοχικοί άρτιοι: x, x + 2, x + 4
«κατά 5 μεγαλύτερος»: x + 5  «τριπλάσιος»: 3x  «το 25 του x»: 25x

Εξισώσεις 1ου βαθμού · Α΄ Λυκείου →

Η εξίσωση αx + β = 0 γράφεται αx = −β και:

α ≠ 0: μοναδική λύση x = −βα
α = 0 και β ≠ 0: αδύνατη (0x = −β)
α = 0 και β = 0: ταυτότητα (αληθεύει για κάθε x ∈ ℝ)

Εξίσωση με παράμετρο λ είναι στην ουσία πολλές εξισώσεις, μία για κάθε τιμή του λ.

Λυμένες ασκήσεις: Εξισώσεις 1ου βαθμού

Άγνωστος προσθετέος

Από το μάθημα «Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος» · Μαθηματικά ΣΤ΄ Δημοτικού

Να λύσετε την εξίσωση: x + 73,1 = 91,2.
Υποδείξεις
  • Ο άγνωστος προσθετέος βρίσκεται με αφαίρεση.
Λύση και απάντηση
  1. x = 91,2 − 73,1 = 18,1.

Απάντηση: 18,1

Εξισώσεις με κλάσματα και δεκαδικούς

Από το μάθημα «Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α+x=β, x–α=β, α–x=β, αx=β, α:x=β και x:α=β» · Άλγεβρα Α΄ Γυμνασίου

Να λύσετε την εξίσωση 16 : x = 8.
Υποδείξεις
  • Σκέψου ποια πράξη «αναιρεί» την πράξη του αγνώστου (πρόσθεση ↔ αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ↔ διαίρεση).
  • Επαλήθευσε τη λύση σου!
Λύση και απάντηση
  1. x = 2.

Απάντηση: 2

Παραμετρική εξίσωση 1ου βαθμού

Από το μάθημα «Εξισώσεις 1ου βαθμού» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Δίνεται η εξίσωση (λ² − 4)x = λ − 2. Για ποια τιμή του λ η εξίσωση είναι αδύνατη;
Υποδείξεις
  • Αν λ² − 4 ≠ 0 έχει μοναδική λύση.
  • Εξέτασε χωριστά λ = 2 και λ = −2.
Λύση και απάντηση
  1. λ = 2: 0x = 0 ⇒ ταυτότητα.
  2. λ = −2: 0x = −4 ⇒ αδύνατη.
  3. Ζητούμενο: λ = -2.

Απάντηση: −2

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ποια είναι η λύση της εξίσωσης x + 5 = 12;

    • 17
    • 5
    • 60
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Ο άγνωστος είναι προσθετέος, άρα x = 12 − 5 = 7.

    Περισσότερες: Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι προσθετέος (ΣΤ΄ Δημοτικού)

  2. Ποια είναι η λύση της εξίσωσης 4 × x = 28;

    • 112
    • 24
    • 32
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Ο άγνωστος είναι παράγοντας: x = 28 : 4 = 7.

    Περισσότερες: Εξισώσεις στις οποίες ο άγνωστος είναι παράγοντας γινομένου (ΣΤ΄ Δημοτικού)

  3. Ποια είναι η λύση της εξίσωσης x + 7 = 15;

    • 105
    • 22
    • 7
    • 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 8. x = 15 − 7 = 8.

    Περισσότερες: Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α+x=β, x–α=β, α–x=β, αx=β, α:x=β και x:α=β (Α΄ Γυμνασίου)

  4. Ποια είναι η λύση της εξίσωσης 2x + 3 = 11;

    • x = 14
    • x = 4
    • x = 7
    • x = 8
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 4. 2x = 8, άρα x = 4.

    Περισσότερες: Εξισώσεις α΄ βαθμού (Β΄ Γυμνασίου)

  5. Το τριπλάσιο ενός αριθμού αυξημένο κατά 5 είναι 20. Ποιος είναι ο αριθμός;

    • 15
    • 25
    • 5
    • 6,25
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 5. 3x + 5 = 20, άρα 3x = 15 και x = 5.

    Περισσότερες: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων (Β΄ Γυμνασίου)

  6. Η εξίσωση αx + β = 0 με α ≠ 0 έχει λύση:

    • x = α − β
    • x = βα
    • x = −βα
    • x = −αβ
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = −βα. Από αx + β = 0 προκύπτει αx = −β, άρα x = −β/α.

    Περισσότερες: Εξισώσεις 1ου βαθμού (Α΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Εξισώσεις & ανισώσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Εξισώσεις 2ου βαθμούΑνισώσειςΓραμμικά συστήματαΑπόλυτη τιμήΑξιοσημείωτες ταυτότητεςΠαραγοντοποίησηΠολυώνυμαΡητές αλγεβρικές παραστάσειςΌλα τα θέματα →