MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Ανισώσεις

Μια ανίσωση ζητά τις τιμές του x για τις οποίες μια παράσταση είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από μια άλλη, και οι λύσεις της είναι συνήθως ένα διάστημα. Εδώ θα βρεις ανισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, ανισώσεις γινόμενο και πηλίκο, πολυωνυμικές ανισώσεις και τον πίνακα προσήμων.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Ανισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο · Γ΄ Γυμνασίου →

Ανίσωση με έναν άγνωστο είναι μια ανισότητα που περιέχει έναν άγνωστο· λύσεις της είναι οι αριθμοί που την επαληθεύουν.

όταν πολλαπλασιάζουμε ή διαιρούμε και τα δύο μέλη με αρνητικό αριθμό, η φορά της ανίσωσης αλλάζει.

αx > β: α > 0 → x > βα  α < 0 → x < βα

Ανισώσεις 1ου βαθμού · Α΄ Λυκείου →

Η ανίσωση αx + β > 0 γράφεται αx > −β και:

α > 0: x > −βα  α < 0: x < −βα
α = 0: 0x > −β, που αληθεύει για κάθε x αν β > 0 και είναι αδύνατη αν β ≤ 0
Για θ > 0: |f(x)| < θ ⇔ −θ < f(x) < θ
Για θ > 0: |f(x)| > θ ⇔ f(x) < −θ ή f(x) > θ

Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο · Α΄ Λυκείου →

f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις · Β΄ Λυκείου →

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν: P(x) = 0, όπου P πολυώνυμο βαθμού ν. Οι λύσεις της είναι οι ρίζες του P. Μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν έχει το πολύ ν ρίζες.

Θεώρημα ακέραιων ριζών. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση ανxν + … + α1x + α0 = 0 με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ ≠ 0 είναι ρίζα της, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α0.

Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές · Β΄ Λυκείου →

Άρρητη είναι η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από ρίζα. Περιορισμοί: υπόρριζα ≥ 0 και, αν η ρίζα ισούται με παράσταση, η παράσταση ≥ 0.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g2(x) και g(x) ≥ 0

Λυμένες ασκήσεις: Ανισώσεις

Ανίσωση με αρνητικό συντελεστή

Από το μάθημα «Ανισώσεις α΄ βαθμού» · Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Να λύσετε την ανίσωση 0 − 4x ≤ 16. Ποιος είναι ο μικρότερος ακέραιος που την επαληθεύει;
Υποδείξεις
  • Μετέφερε τους αριθμούς δεξιά: −4x ≤ 16.
  • Διαιρώντας με αρνητικό αριθμό αλλάζει η φορά!
Λύση και απάντηση
  1. −4x ≤ 16 ⇒ x ≥ −4.
  2. Μικρότερος ακέραιος: −4.

Απάντηση: −4

Διπλή ανίσωση 2ου βαθμού

Από το μάθημα «Ανισώσεις 2ου βαθμού» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Πόσους ακεραίους ικανοποιεί η ανίσωση x2 − 4x < 0 και πόσους η x2 − 4x ≤ 0;
Υποδείξεις
  • Βρες τις ρίζες: το τριώνυμο είναι αρνητικό ανάμεσά τους.
  • Με «≤» προσθέτεις και τις ρίζες.
Λύση και απάντηση
  1. Ρίζες: 0, 4.
  2. < 0: ακέραιοι στο (0, 4): 3.
  3. ≤ 0: 5.

Απάντηση: με < 3  ·  με ≤ 5

Ρητή εξίσωση με περιορισμούς

Από το μάθημα «Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση x² − 10x − 4 = x − 2.
Υποδείξεις
  • Περιορισμός: x ≠ 4.
  • Πολλαπλασίασε με x − 4: καταλήγεις σε γραμμική εξίσωση.
Λύση και απάντηση
  1. x² − 10 = (x − 4)(x − 2) = x² − 6x + 8.
  2. (−6)x = −18 ⇒ x = 3 (≠ 4, δεκτή).

Απάντηση: 3

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ποια είναι η λύση της ανίσωσης x + 3 > 7;

    • x < 10
    • x < 4
    • x > 10
    • x > 4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x > 4. x > 7 − 3 = 4.

    Περισσότερες: Ανισώσεις α΄ βαθμού (Β΄ Γυμνασίου)

  2. Η λύση της 2x + 1 > 7 είναι:

    • x < 3
    • x < 4
    • x > 3
    • x > 4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x > 3. 2x > 6, άρα x > 3.

    Περισσότερες: Ανισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο (Γ΄ Γυμνασίου)

  3. Η λύση της 2x − 3 > 5 είναι:

    • x < 1
    • x < 4
    • x > 1
    • x > 4
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x > 4. 2x > 8, άρα x > 4.

    Περισσότερες: Ανισώσεις 1ου βαθμού (Α΄ Λυκείου)

  4. Για να λύσουμε την (x − 1)(x + 2) > 0 κάνουμε:

    • Ύψωση σε τετράγωνο
    • Διαίρεση
    • Μόνο αντικατάσταση
    • Πίνακα προσήμου
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Πίνακα προσήμου. Μελετάμε το πρόσημο κάθε παράγοντα.

    Περισσότερες: Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο (Α΄ Λυκείου)

  5. Μια ακέραια ρίζα πολυωνυμικής εξίσωσης με ακέραιους συντελεστές είναι διαιρέτης:

    • του αθροίσματος των συντελεστών
    • του βαθμού
    • του μεγιστοβάθμιου συντελεστή
    • του σταθερού όρου
    Δες την απάντηση

    Σωστό: του σταθερού όρου. Θεώρημα ακέραιων ριζών.

    Περισσότερες: Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις (Β΄ Λυκείου)

  6. Η εξίσωση √(x + 3) = x + 1 έχει λύση:

    • x = 1
    • x = 1 ή x = −2
    • x = 3
    • x = −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 1. Υψώνοντας στο τετράγωνο: x² + x − 2 = 0. Το x = −2 απορρίπτεται, αφού √1 ≠ −1.

    Περισσότερες: Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Εξισώσεις & ανισώσειςΑπόλυτες τιμέςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΠολυώνυμαΕξισώσεις 1ου βαθμούΕξισώσεις 2ου βαθμούΓραμμικά συστήματαΑπόλυτη τιμήΑξιοσημείωτες ταυτότητεςΠαραγοντοποίησηΡητές αλγεβρικές παραστάσειςΌλα τα θέματα →