MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Πολυώνυμα

Πολυώνυμο είναι ένα άθροισμα μονωνύμων, π.χ. 3x³ − 2x + 5, και βαθμός του είναι ο μεγαλύτερος εκθέτης του x. Εδώ θα βρεις πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα, διαίρεση πολυωνύμων, σχήμα Horner και πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Αλγεβρικές παραστάσεις – Μονώνυμα · Γ΄ Γυμνασίου →

Αλγεβρική παράσταση είναι μια έκφραση που περιέχει πράξεις με αριθμούς και μεταβλητές.

Μονώνυμο λέγεται μια ακέραια αλγεβρική παράσταση στην οποία σημειώνεται μόνο πολλαπλασιασμός (π.χ. −3x2y).

Βαθμός μονωνύμου ως προς μια μεταβλητή είναι ο εκθέτης της· βαθμός ως προς όλες τις μεταβλητές είναι το άθροισμα των εκθετών τους.

Όμοια λέγονται τα μονώνυμα με το ίδιο κύριο μέρος. Ίσα: όμοια με ίσους συντελεστές. Αντίθετα: όμοια με αντίθετους συντελεστές.

Πολυώνυμα – Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων · Γ΄ Γυμνασίου →

Πολυώνυμο λέγεται ένα άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια. Κάθε μονώνυμο λέγεται όρος του πολυωνύμου.

Βαθμός πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων · Γ΄ Γυμνασίου →

Πολλαπλασιάζουμε το μονώνυμο με κάθε όρο του πολυωνύμου και προσθέτουμε τα γινόμενα (επιμεριστική ιδιότητα).

α(β + γ − δ) = αβ + αγ − αδ

Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

(α + β)(γ + δ) = αγ + αδ + βγ + βδ

Πολυώνυμα · Β΄ Λυκείου →

Μονώνυμο του x: παράσταση αxν, ν ∈ ℕ. Πολυώνυμο του x: άθροισμα μονωνύμων, P(x) = ανxν + αν−1xν−1 + … + α1x + α0.

Βαθμός μη μηδενικού πολυωνύμου: ο μεγαλύτερος εκθέτης ν με αν ≠ 0. Ένα σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0.

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν ίσους τους συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους.

Αριθμητική τιμή του P για x = ρ: ο αριθμός P(ρ). Αν P(ρ) = 0, ο ρ λέγεται ρίζα του P.

Άθροισμα συντελεστών: P(1)  Σταθερός όρος: P(0)

Διαίρεση πολυωνύμων · Β΄ Λυκείου →

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) ≠ 0, υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) ώστε Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x), όπου υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του δ(x).
Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x − ρ είναι ίσο με την τιμή του για x = ρ, δηλαδή υ = P(ρ).
Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x − ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή P(ρ) = 0.

Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές · Β΄ Λυκείου →

Άρρητη είναι η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από ρίζα. Περιορισμοί: υπόρριζα ≥ 0 και, αν η ρίζα ισούται με παράσταση, η παράσταση ≥ 0.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g2(x) και g(x) ≥ 0

Λυμένες ασκήσεις: Πολυώνυμα

Όμοια μονώνυμα με παραμέτρους

Από το μάθημα «Αλγεβρικές παραστάσεις – Μονώνυμα» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Τα μονώνυμα −3xλ − 1y4 και 5x2yμ + 3 είναι όμοια. Να βρείτε λ και μ.
Υποδείξεις
  • Όμοια μονώνυμα: ίδιο κύριο μέρος (ίδιοι εκθέτες για κάθε μεταβλητή).
Λύση και απάντηση
  1. λ − 1 = 2 ⇒ λ = 3.
  2. μ + 3 = 4 ⇒ μ = 1.

Απάντηση: λ = 3  ·  μ = 1

Πηλίκο και υπόλοιπο

Από το μάθημα «Διαίρεση πολυωνύμων» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Να κάνετε τη διαίρεση (x3 − 2x + 2) : (x − 1). Αν το πηλίκο είναι x² + αx + β και το υπόλοιπο υ, να βρείτε α, β, υ.
Υποδείξεις
  • Κάνε την ευκλείδεια διαίρεση (ή σχήμα Horner).
  • Έλεγχος: Δ = δ·π + υ.
Λύση και απάντηση
  1. Πηλίκο: x2 + x − 1, υπόλοιπο: 1.

Απάντηση: α = 1  ·  β = −1  ·  υ = 1

Ρητή εξίσωση με περιορισμούς

Από το μάθημα «Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση x² − 10x − 4 = x − 2.
Υποδείξεις
  • Περιορισμός: x ≠ 4.
  • Πολλαπλασίασε με x − 4: καταλήγεις σε γραμμική εξίσωση.
Λύση και απάντηση
  1. x² − 10 = (x − 4)(x − 2) = x² − 6x + 8.
  2. (−6)x = −18 ⇒ x = 3 (≠ 4, δεκτή).

Απάντηση: 3

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ποιος είναι ο συντελεστής του μονωνύμου −5x²y;

    • 5
    • x²y
    • −1
    • −5
    Δες την απάντηση

    Σωστό: −5. Ο αριθμητικός παράγοντας είναι ο συντελεστής.

    Περισσότερες: Αλγεβρικές παραστάσεις – Μονώνυμα (Γ΄ Γυμνασίου)

  2. Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου 3x⁴ − 2x² + 7;

    • 2
    • 3
    • 4
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. Ο μεγαλύτερος βαθμός των όρων του.

    Περισσότερες: Πολυώνυμα – Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων (Γ΄ Γυμνασίου)

  3. Πόσο κάνει 2x(x + 3);

    • 2x + 6
    • 2x² + 3
    • 2x² + 6x
    • x² + 6x
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 2x² + 6x. Επιμεριστική ιδιότητα.

    Περισσότερες: Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων (Γ΄ Γυμνασίου)

  4. Ο βαθμός του P(x) = 3x⁴ − x² + 7 είναι:

    • 2
    • 3
    • 4
    • 7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 4. Ο μεγαλύτερος εκθέτης με μη μηδενικό συντελεστή είναι 4.

    Περισσότερες: Πολυώνυμα (Β΄ Λυκείου)

  5. Η ταυτότητα της διαίρεσης Δ(x) : δ(x) είναι:

    • Δ(x) = δ(x) + π(x) + υ(x)
    • Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x)
    • Δ(x) = δ(x)·υ(x) + π(x)
    • Δ(x) = π(x)/δ(x) + υ(x)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: Δ(x) = δ(x)·π(x) + υ(x). Διαιρετέος = διαιρέτης × πηλίκο + υπόλοιπο.

    Περισσότερες: Διαίρεση πολυωνύμων (Β΄ Λυκείου)

  6. Η εξίσωση √(x + 3) = x + 1 έχει λύση:

    • x = 1
    • x = 1 ή x = −2
    • x = 3
    • x = −2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 1. Υψώνοντας στο τετράγωνο: x² + x − 2 = 0. Το x = −2 απορρίπτεται, αφού √1 ≠ −1.

    Περισσότερες: Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Πράξεις παραστάσεωνΠαραγοντοποίησηΕξισώσεις & ανισώσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΑνισώσειςΑξιοσημείωτες ταυτότητεςΕξισώσεις 1ου βαθμούΕξισώσεις 2ου βαθμούΓραμμικά συστήματαΑπόλυτη τιμήΠαραγοντοποίησηΡητές αλγεβρικές παραστάσειςΌλα τα θέματα →