Γραμμικά συστήματα
Ένα γραμμικό σύστημα 2×2 αποτελείται από δύο εξισώσεις της μορφής αx + βy = γ, και λύση του είναι κάθε ζεύγος (x, y) που επαληθεύει και τις δύο. Εδώ θα βρεις γραφική επίλυση, τη μέθοδο της αντικατάστασης και των αντίθετων συντελεστών, τις ορίζουσες (κανόνας του Cramer) και μη γραμμικά συστήματα.
Σε ποια μαθήματα θα το βρεις
Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου
- 3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης
- 3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του
- 3.3 Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος
Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Βασικοί τύποι και κανόνες
Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης · Γ΄ Γυμνασίου →
Γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ.
Λύση της είναι κάθε ζεύγος αριθμών (x, y) που την επαληθεύει. Μια γραμμική εξίσωση έχει (συνήθως) άπειρες λύσεις.
Αν α ≠ 0 ή β ≠ 0, οι λύσεις της αx + βy = γ παριστάνονται με τα σημεία μιας ευθείας.
Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του · Γ΄ Γυμνασίου →
Γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους λέγεται το σύνολο δύο γραμμικών εξισώσεων για τις οποίες ζητάμε τις κοινές τους λύσεις.
Λύση του συστήματος είναι κάθε ζεύγος (x, y) που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.
Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος · Γ΄ Γυμνασίου →
α) Μέθοδος της αντικατάστασης:
β) Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών:
Γραμμικά συστήματα · Β΄ Λυκείου →
Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ, όπου α, β, γ πραγματικοί αριθμοί με α ≠ 0 ή β ≠ 0. Λύση της είναι κάθε ζεύγος (x0, y0) που την επαληθεύει.
Σύστημα (Σ): αx + βy = γ, α′x + β′y = γ′. Λύση του είναι κάθε ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.
Ορίζουσα του συστήματος:
Μη γραμμικά συστήματα · Β΄ Λυκείου →
Λυμένες ασκήσεις: Γραμμικά συστήματα
Σημεία της ευθείας αx + βy = γ
Από το μάθημα «Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου
Υποδείξεις
- Για y = 0 βρίσκεις p, για x = 0 βρίσκεις q.
Λύση και απάντηση
- p = −3, q = 9.
Απάντηση: p = −3 · q = 9
Σύστημα με κλάσματα
Από το μάθημα «Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου
Υποδείξεις
- Πολλαπλασίασε κάθε εξίσωση με το ΕΚΠ των παρονομαστών της.
- Μετά αντικατάσταση ή αντίθετοι συντελεστές.
Λύση και απάντηση
- Μετά την απαλοιφή παρονομαστών λύνουμε: x = 6, y = −12.
Απάντηση: x = 6 · y = −12
Άθροισμα τετραγώνων από άθροισμα και γινόμενο
Από το μάθημα «Μη γραμμικά συστήματα» · Άλγεβρα Β΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- (x + y)² = x² + 2xy + y².
Λύση και απάντηση
- x² + y² = (x + y)² − 2xy = 9 − (−20) = 29.
Απάντηση: 29
Δοκίμασε τον εαυτό σου: 5 ερωτήσεις με απαντήσεις
Μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους έχει τη μορφή:
- x² + y² = γ
- αx + βy = γ
- αx = γ
- αx² + βx = γ
Δες την απάντηση
Σωστό: αx + βy = γ. Η γραμμική εξίσωση είναι πρώτου βαθμού ως προς x και y.
Περισσότερες: Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης (Γ΄ Γυμνασίου)
Η λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων είναι:
- Ο αριθμός των εξισώσεων
- Το άθροισμα των εξισώσεων
- Το ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο
- Το ζεύγος που επαληθεύει τη μία
Δες την απάντηση
Σωστό: Το ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο. Πρέπει να ισχύουν και οι δύο.
Περισσότερες: Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του (Γ΄ Γυμνασίου)
Λύση του συστήματος x + y = 7 και x − y = 1:
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 2)
- (6, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (4, 3). Προσθέτοντας: 2x = 8.
Περισσότερες: Αλγεβρική επίλυση γραμμικού συστήματος (Γ΄ Γυμνασίου)
Το σύστημα x + y = 5, x − y = 1 έχει λύση:
- (1, 4)
- (2, 3)
- (3, 2)
- (4, 1)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 2). Προσθέτοντας κατά μέλη: 2x = 6, άρα x = 3 και y = 2.
Περισσότερες: Γραμμικά συστήματα (Β΄ Λυκείου)
Το σύστημα x + y = 5, xy = 6 έχει λύσεις:
- (1, 6) και (6, 1)
- (2, 3) και (3, 2)
- (−2, −3) και (−3, −2)
- μόνο (2, 3)
Δες την απάντηση
Σωστό: (2, 3) και (3, 2). Τα x, y είναι ρίζες της t² − 5t + 6 = 0, δηλαδή 2 και 3.
Περισσότερες: Μη γραμμικά συστήματα (Β΄ Λυκείου)