MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Τετραγωνική ρίζα και ρίζες

Η τετραγωνική ρίζα √α ενός αριθμού α ≥ 0 είναι ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει α, π.χ. √49 = 7. Εδώ θα βρεις τετραγωνικές και ν-οστές ρίζες, τις ιδιότητές τους, τους άρρητους αριθμούς και την εξίσωση xν = α.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού · Β΄ Γυμνασίου →

Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού x λέγεται ο θετικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον x. Συμβολίζεται √x.

Αν x ≥ 0: √x = y ⇔ y ≥ 0 και y2 = x
√0 = 0  (√x)2 = x  (x ≥ 0)  √x2 = x  (x ≥ 0)

Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί · Β΄ Γυμνασίου →

Άρρητος λέγεται ο αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με ακέραιους όρους. Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς περίοδο.

Οι ρητοί (που γράφονται ως κλάσματα, δηλαδή ως δεκαδικοί ή περιοδικοί) μαζί με τους άρρητους αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς.

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού · Γ΄ Γυμνασίου →

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Συμβολίζεται √α.

Αν α ≥ 0: √α = x ⇔ x ≥ 0 και x2 = α
(√α)2 = α  (α ≥ 0)  √α2 = |α|  (για κάθε α)
√α · √β = √α · β  (α, β ≥ 0)
√α√β = √αβ  (α ≥ 0, β > 0)

Ρίζες πραγματικών αριθμών · Α΄ Λυκείου →

Αν α ≥ 0, η √α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x2 = α.

√α2 = |α|  για κάθε α ∈ ℝ
√α · √β = √αβ  √αβ = √α√β  (α ≥ 0, β > 0)

Αν α ≥ 0, η ν√α παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης xν = α (ν θετικός ακέραιος). Για ν = 2 γράφουμε √α.

(ν√α)ν = α  (α ≥ 0)

Η εξίσωση xν = α · Α΄ Λυκείου →

Αν α > 0 και ν περιττός: μοναδική λύση x = ν√α.

Αν α > 0 και ν άρτιος: δύο λύσεις x = ν√α και x = −ν√α.

Αν α < 0 και ν περιττός: μοναδική λύση x = −ν√∣α∣.

Αν α < 0 και ν άρτιος: αδύνατη.

xν = αν: ν περιττός → x = α  ν άρτιος → x = α ή x = −α

Λυμένες ασκήσεις: Τετραγωνική ρίζα και ρίζες

Υπολογισμός με ρίζες

Από το μάθημα «Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού» · Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Να υπολογίσετε την παράσταση √49 · √9 − (√4)² .
Υποδείξεις
  • √(α²) = α για α ≥ 0, (√α)² = α.
Λύση και απάντηση
  1. = 7·3 − 4 = 5.

Απάντηση: 5

Απλοποίηση ριζών

Από το μάθημα «Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Να γράψετε την παράσταση √112 + √63 + √63 στη μορφή κ√7.
Υποδείξεις
  • √(α²β) = α√β.
  • Γράψε κάθε ρίζα ως πολλαπλάσιο του √7.
Λύση και απάντηση
  1. √112 = 4√7, √63 = 3√7, √63 = 3√7.
  2. Σύνολο: 10√7.

Απάντηση: 10√7

Εξίσωση που ανάγεται σε xⁿ = α

Από το μάθημα «Η εξίσωση xν = α» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση x6 + 19x³ − 216 = 0.
Υποδείξεις
  • Θέσε y = x³.
  • y² + 19y − 216 = 0.
Λύση και απάντηση
  1. y = 8 ή y = −27.
  2. x³ = 8 ⇒ x = 2, x³ = −27 ⇒ x = −3 (περιττός εκθέτης: μία λύση).

Απάντηση: 2  ή  −3

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 5 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Πόσο είναι η √49;

    • 24,5
    • 49
    • 7
    • −7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. 7 · 7 = 49 και το 7 είναι θετικό.

    Περισσότερες: Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού (Β΄ Γυμνασίου)

  2. Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρρητος;

    • 0,25
    • 37
    • √2
    • √9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: √2. Η √2 δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων.

    Περισσότερες: Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί (Β΄ Γυμνασίου)

  3. Πόσο είναι η √81;

    • 40,5
    • 8
    • 81
    • 9
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 9. Η √81 είναι 9, επειδή 9² = 81.

    Περισσότερες: Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού (Γ΄ Γυμνασίου)

  4. Πόσο είναι η √49;

    • 24,5
    • 49
    • 7
    • −7
    Δες την απάντηση

    Σωστό: 7. Η √49 είναι 7, επειδή 7² = 49.

    Περισσότερες: Ρίζες πραγματικών αριθμών (Α΄ Λυκείου)

  5. Η εξίσωση x³ = 8 έχει λύση:

    • x = 2
    • x = 4
    • x = 8
    • x = ±2
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x = 2. Για περιττό ν υπάρχει μία λύση: ³√8.

    Περισσότερες: Η εξίσωση xν = α (Α΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

ΚομπιουτεράκιΠράξεις παραστάσεωνΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Πραγματικοί αριθμοίΦυσικοί αριθμοίΚλάσματαΔεκαδικοί αριθμοίΣτρογγυλοποίησηΠοσοστάΑνάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσάΛόγος και αναλογίαΌλα τα θέματα →