Πραγματικοί αριθμοί

Οι πραγματικοί αριθμοί (ℝ) περιλαμβάνουν τους ρητούς και τους άρρητους, όπως το √2 και το π, και αντιστοιχούν ένα προς ένα στα σημεία της ευθείας των αριθμών. Εδώ θα βρεις πράξεις και ιδιότητες, διάταξη, απόλυτη τιμή και ρίζες πραγματικών αριθμών.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

2.2 Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

1.1 Πραγματικοί αριθμοί

Βασικοί τύποι και κανόνες

Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί · Β΄ Γυμνασίου →

Άρρητος λέγεται ο αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα με ακέραιους όρους. Έχει άπειρα δεκαδικά ψηφία χωρίς περίοδο.

Οι ρητοί (που γράφονται ως κλάσματα, δηλαδή ως δεκαδικοί ή περιοδικοί) μαζί με τους άρρητους αποτελούν τους πραγματικούς αριθμούς.

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών · Γ΄ Γυμνασίου →

Για ν φυσικό (ν ≥ 2): α^ν = α · α · … · α (ν παράγοντες). Επίσης α¹ = α.

α⁰ = 1 (α ≠ 0) α^−ν = 1α^ν (α ≠ 0)

α^μ · α^ν = α^μ+ν

α^μ : α^ν = α^μ−ν (α ≠ 0)

(α^μ)^ν = α^μ·ν

Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού · Γ΄ Γυμνασίου →

Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α λέγεται ο μη αρνητικός αριθμός που, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Συμβολίζεται √α.

Αν α ≥ 0: √α = x ⇔ x ≥ 0 και x² = α

(√α)² = α (α ≥ 0) √α² = |α| (για κάθε α)

√α · √β = √α · β (α, β ≥ 0)

√α√β = √αβ (α ≥ 0, β > 0)

Διάταξη πραγματικών αριθμών · Α΄ Λυκείου →

Ο α είναι μεγαλύτερος από τον β (α > β) όταν η διαφορά α − β είναι θετική.

α > β ⇔ α − β > 0 α < β ⇔ α − β < 0

Ομόσημοι: (α > 0 και β > 0) ή (α < 0 και β < 0) ⇔ αβ > 0 ⇔ αβ > 0

Ετερόσημοι ⇔ αβ < 0 ⇔ αβ < 0

α² ≥ 0 για κάθε α ∈ ℝ, με το ίσον μόνο όταν α = 0

Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού · Α΄ Λυκείου →

Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού α είναι η απόσταση του σημείου του α από την αρχή O του άξονα.

|α| = α, αν α ≥ 0 |α| = −α, αν α < 0

|α| = |−α| ≥ 0 |α| ≥ α |α| ≥ −α |α|² = α²

Αν θ > 0: |x| = θ ⇔ x = θ ή x = −θ

|x| = |α| ⇔ x = α ή x = −α

Πραγματικοί αριθμοί · Γ΄ Λυκείου →

Φυσικοί ℕ = {0, 1, 2, …}, ακέραιοι ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}, ρητοί ℚ = {μν : μ, ν ∈ ℤ, ν ≠ 0}, πραγματικοί ℝ. Ισχύει ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

α > β ⇔ α − β > 0 α < β ⇔ α − β < 0

[α, β] = {x ∈ ℝ : α ≤ x ≤ β} (α, β) = {x ∈ ℝ : α < x < β}

[α, β) = {x : α ≤ x < β} (α, β] = {x : α < x ≤ β}

[α, +∞) = {x : x ≥ α} (α, +∞) = {x : x > α} (−∞, α] = {x : x ≤ α} (−∞, α) = {x : x < α}

Λυμένες ασκήσεις: Πραγματικοί αριθμοί

Ρητός ή άρρητος;

Από το μάθημα «Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί» · Άλγεβρα Β΄ Γυμνασίου

Ο αριθμός √12 είναι:

Άρρητος
Ρητός

Υποδείξεις

Ρητός: γράφεται ως κλάσμα ακεραίων (π.χ. περιοδικός δεκαδικός).
Κάνε πρώτα τις πράξεις!

Λύση και απάντηση

√12: άρρητος.

Απάντηση: Άρρητος

Όρια παράστασης

Από το μάθημα «Διάταξη πραγματικών αριθμών – Ιδιότητες της διάταξης» · Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Αν −3 < x < 0 και 4 < y < 6, να βρείτε τα α, β ώστε α < x + 3y < β.

Υποδείξεις

Πολλαπλασίασε κάθε ανισότητα με τον συντελεστή (με αρνητικό αλλάζει η φορά!) και πρόσθεσε κατά μέλη.

Λύση και απάντηση

α = 9, β = 18.

Απάντηση: α = 9 · β = 18

Εξίσωση με δύο απόλυτες τιμές

Από το μάθημα «Πραγματικοί αριθμοί» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να λύσετε την εξίσωση |x + 2| + |x − 2| = 10.

Υποδείξεις

Χώρισε τον άξονα στα σημεία −2 και 2 και λύσε σε κάθε διάστημα χωρίς απόλυτα.
Στο [−2, 2] το άθροισμα είναι σταθερό και ίσο με 4 ≠ 10.

Λύση και απάντηση

Για x < −2: −(x + 2) − (x − 2) = 10 ⇒ −2x + 0 = 10 ⇒ x = −5 (δεκτή, αφού −5 < −2).
Για −2 ≤ x ≤ 2: (x + 2) − (x − 2) = 4 ≠ 10, αδύνατη.
Για x > 2: 2x − 0 = 10 ⇒ x = 5 (δεκτή).

Απάντηση: −5 ή 5

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς είναι άρρητος;
- 0,25
- 37
- √2
- √9
Δες την απάντηση
Σωστό: √2. Η √2 δεν γράφεται ως κλάσμα ακεραίων.
Περισσότερες: Άρρητοι αριθμοί – Πραγματικοί αριθμοί (Β΄ Γυμνασίου)
Πόσο κάνει α⁵ · α³;
- 2α⁸
- α²
- α¹⁵
- α⁸
Δες την απάντηση
Σωστό: α⁸. Προσθέτουμε τους εκθέτες.
Περισσότερες: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών (Γ΄ Γυμνασίου)
Πόσο είναι η √81;
- 40,5
- 8
- 81
- 9
Δες την απάντηση
Σωστό: 9. Η √81 είναι 9, επειδή 9² = 81.
Περισσότερες: Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού (Γ΄ Γυμνασίου)
Η ισοδυναμία α > β ⇔ …
- α + β > 0
- α : β > 0
- α · β > 0
- α − β > 0
Δες την απάντηση
Σωστό: α − β > 0. Ορισμός της διάταξης.
Περισσότερες: Διάταξη πραγματικών αριθμών (Α΄ Λυκείου)
Πόση είναι η |−5|;
- 0
- 15
- 5
- −5
Δες την απάντηση
Σωστό: 5. Η απόλυτη τιμή είναι η απόσταση από το 0.
Περισσότερες: Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού (Α΄ Λυκείου)
Το σύνολο ℚ των ρητών αριθμών είναι:
- ίσο με το ℝ
- ξένο προς το ℝ
- υποσύνολο του ℕ
- υποσύνολο του ℝ
Δες την απάντηση
Σωστό: υποσύνολο του ℝ. ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.
Περισσότερες: Πραγματικοί αριθμοί (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Κομπιουτεράκι Απόλυτες τιμές Λύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Τετραγωνική ρίζα και ρίζες Δυνάμεις Απόλυτη τιμή Φυσικοί αριθμοί Κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση Ποσοστά Όλα τα θέματα →