Διανύσματα
Διάνυσμα είναι ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, που έχει μέτρο, διεύθυνση και φορά. Εδώ θα βρεις πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων, πολλαπλασιασμό αριθμού με διάνυσμα, συντεταγμένες και εσωτερικό γινόμενο, από τη Β΄ Γυμνασίου μέχρι τη Β΄ Λυκείου.
Σε ποια μαθήματα θα το βρεις
Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου
Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Βασικοί τύποι και κανόνες
Η έννοια του διανύσματος · Β΄ Λυκείου →
Διάνυσμα λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα: το πρώτο λέγεται αρχή και το δεύτερο πέρας. Συμβολίζεται AB (με βέλος) ή με ένα γράμμα α.
Μέτρο |AB| είναι η απόσταση των A, B. Μοναδιαίο λέγεται ένα διάνυσμα με μέτρο 1.
Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι η ευθεία AB. Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα (συγγραμμικά) όταν έχουν τον ίδιο ή παράλληλους φορείς.
Ίσα διανύσματα: ομόρροπα με ίσα μέτρα. Αντίθετα: αντίρροπα με ίσα μέτρα· το αντίθετο του α είναι το −α, και AB = −BA.
Γωνία δύο διανυσμάτων α, β: η κυρτή γωνία AÔB που σχηματίζεται όταν τα μεταφέρουμε με κοινή αρχή O (OA = α, OB = β). Συμβολίζεται (α, β) και 0 ≤ θ ≤ π.
Συντεταγμένες στο επίπεδο · Β΄ Λυκείου →
Στο καρτεσιανό επίπεδο με μοναδιαία i, j (κάθετα), κάθε διάνυσμα α γράφεται μοναδικά α = xi + yj. Τα x, y λέγονται συντεταγμένες του α: α = (x, y).
Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων · Β΄ Λυκείου →
Εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α, β είναι ο αριθμός α · β = |α| · |β| · συνθ, θ = (α, β). Αν α = 0 ή β = 0, ορίζουμε α · β = 0.
Λυμένες ασκήσεις: Διανύσματα
Ίσα και αντίθετα διανύσματα
Από το μάθημα «Η έννοια του διανύσματος» · Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου
- ΒΓ
- ΓΑ
- ΔΓ
- ΜΒ
Υποδείξεις
- Ίσα διανύσματα: ίδιο μέτρο, ίδια διεύθυνση και ίδια φορά.
Λύση και απάντηση
- Απάντηση: ΒΓ.
Απάντηση: ΒΓ
Γωνία αντίθετων και πολλαπλάσιων διανυσμάτων
Από το μάθημα «Η έννοια του διανύσματος» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- Πολλαπλασιασμός με θετικό αριθμό δεν αλλάζει την κατεύθυνση· με αρνητικό την αντιστρέφει.
- Αν αντιστραφεί ακριβώς ένα από τα δύο διανύσματα, η γωνία γίνεται 180° − θ.
Λύση και απάντηση
- Το −3α είναι αντίρροπο του α, το −β αντίρροπο του β.
- Η γωνία μένει 120°.
Απάντηση: 120 °
Κάθετα διανύσματα με παράμετρο
Από το μάθημα «Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου
Υποδείξεις
- Κάθετα ⇔ u·v = 0.
- x₁x₂ + y₁y₂ = 0.
Λύση και απάντηση
- (λ − 2)·4 + 3·(−1) = 0.
- 4λ − 11 = 0 ⇒ λ = 114.
Απάντηση: 114
Δοκίμασε τον εαυτό σου: 5 ερωτήσεις με απαντήσεις
Ένα διάνυσμα καθορίζεται από:
- Μέτρο, διεύθυνση και φορά
- Μόνο διεύθυνση
- Μόνο μέτρο
- Μόνο φορά
Δες την απάντηση
Σωστό: Μέτρο, διεύθυνση και φορά. Και τα τρία στοιχεία χρειάζονται για να οριστεί ένα διάνυσμα.
Περισσότερες: Η έννοια του διανύσματος (Β΄ Γυμνασίου)
Η οριζόντια συνιστώσα δύναμης F που σχηματίζει γωνία φ με τον οριζόντιο άξονα είναι:
- Fx = F : συνφ
- Fx = F · εφφ
- Fx = F · ημφ
- Fx = F · συνφ
Δες την απάντηση
Σωστό: Fx = F · συνφ. Η προσκείμενη κάθετη = υποτείνουσα · συνφ.
Περισσότερες: Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες (Β΄ Γυμνασίου)
Διάνυσμα λέγεται:
- ένα ευθύγραμμο τμήμα χωρίς φορά
- ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα
- ένας θετικός αριθμός
- μια ευθεία
Δες την απάντηση
Σωστό: ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα. Έχει αρχή και πέρας.
Περισσότερες: Η έννοια του διανύσματος (Β΄ Λυκείου)
Αν Α(1, 2) και Β(4, 6), τότε ΑΒ =
- (3, 4)
- (4, 3)
- (5, 8)
- (−3, −4)
Δες την απάντηση
Σωστό: (3, 4). (x₂ − x₁, y₂ − y₁).
Περισσότερες: Συντεταγμένες στο επίπεδο (Β΄ Λυκείου)
Το εσωτερικό γινόμενο α·β ορίζεται ως:
- |α| + |β|
- |α|·|β|
- |α|·|β|·ημθ
- |α|·|β|·συνθ
Δες την απάντηση
Σωστό: |α|·|β|·συνθ. θ η γωνία των α, β.
Περισσότερες: Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων (Β΄ Λυκείου)