MathGreeceMathGreece
← Πίσω

Κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή

Ο κύκλος, η παραβολή, η έλλειψη και η υπερβολή (κωνικές τομές) είναι καμπύλες με εξισώσεις δευτέρου βαθμού ως προς x και y, π.χ. x² + y² = ρ² για τον κύκλο με κέντρο την αρχή των αξόνων. Εδώ θα βρεις τις εξισώσεις τους, τις εφαπτόμενες και τα βασικά τους στοιχεία, όπως εστίες και εκκεντρότητα.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Ο κύκλος · Β΄ Λυκείου →

Κύκλος με κέντρο K και ακτίνα ρ: το σύνολο των σημείων M του επιπέδου με (KM) = ρ.

Ο κύκλος με κέντρο K(x0, y0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2.
Κέντρο O(0, 0): x2 + y2 = ρ2
Η εφαπτομένη του κύκλου x2 + y2 = ρ2 στο σημείο του A1(x1, y1) έχει εξίσωση xx1 + yy1 = ρ2.
Κύκλος κέντρου (x0, y0): (x − x0)(x1 − x0) + (y − y0)(y1 − y0) = ρ2

Η παραβολή · Β΄ Λυκείου →

Παραβολή με εστία E και διευθετούσα δ (E ∉ δ) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το E και την ευθεία δ.

Η παραβολή με εστία E(p2, 0) και διευθετούσα δ: x = −p2 έχει εξίσωση y2 = 2px.
Εστία E(0, p2), διευθετούσα y = −p2: x2 = 2py
Η εφαπτομένη της παραβολής y2 = 2px στο σημείο της M1(x1, y1) έχει εξίσωση yy1 = p(x + x1).
Παραβολή x2 = 2py: εφαπτομένη στο (x1, y1): xx1 = p(y + y1)

Η έλλειψη · Β΄ Λυκείου →

Έλλειψη με εστίες E′, E είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου με (ME′) + (ME) = 2α, όπου 2α σταθερό και 2α > (E′E) = 2γ.

Η έλλειψη με εστίες E′(−γ, 0), E(γ, 0) και σταθερό άθροισμα 2α έχει εξίσωση x2α2 + y2β2 = 1, όπου β = √α2 − γ2.
Εστίες στον y′y: x2β2 + y2α2 = 1,  E′(0, −γ), E(0, γ)

Εκκεντρότητα ε = γα, 0 < ε < 1. Ισχύει βα = √1 − ε2: όσο το ε πλησιάζει το 0 η έλλειψη τείνει σε κύκλο, όσο πλησιάζει το 1 γίνεται πιο «επιμήκης».

Η εφαπτομένη της έλλειψης x2α2 + y2β2 = 1 στο σημείο της M1(x1, y1) έχει εξίσωση xx1α2 + yy1β2 = 1.

Η υπερβολή · Β΄ Λυκείου →

Υπερβολή με εστίες E′, E είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου με |(ME′) − (ME)| = 2α, όπου 2α σταθερό και 0 < 2α < (E′E) = 2γ.

Η υπερβολή με εστίες E′(−γ, 0), E(γ, 0) και σταθερή διαφορά 2α έχει εξίσωση x2α2 − y2β2 = 1, όπου β = √γ2 − α2.
Εστίες στον y′y: y2α2 − x2β2 = 1
Οι ευθείες y = βαx και y = −βαx είναι ασύμπτωτες της υπερβολής x2α2 − y2β2 = 1.

ε = γα > 1 και βα = √ε2 − 1: όσο μεγαλώνει το ε, τόσο πιο «ανοιχτοί» είναι οι κλάδοι.

Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0 · Β΄ Λυκείου →

Παράλληλη μεταφορά: αν θέσουμε X = x − x0, Y = y − y0, η καμπύλη μελετάται στο νέο σύστημα με αρχή το K.

Λυμένες ασκήσεις: Κύκλος, παραβολή, έλλειψη, υπερβολή

Κέντρο και ακτίνα

Από το μάθημα «Ο κύκλος» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Να βρείτε το κέντρο Κ(x₀, y₀) και την ακτίνα ρ του κύκλου x² + y² − 8x + 8y + 28 = 0.
Υποδείξεις
  • Κ(−A/2, −B/2).
  • ρ = √(A² + B² − 4Γ)2.
Λύση και απάντηση
  1. Κ(4, −4).
  2. ρ = √(16 + 16 − 28) = 2.

Απάντηση: x₀ = 4  ·  y₀ = −4  ·  ρ = 2

Εστίες και εκκεντρότητα

Από το μάθημα «Η έλλειψη» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Για την έλλειψη x²25 + y²9 = 1, να βρείτε την ημιεστιακή απόσταση γ και την εκκεντρότητα ε.
Υποδείξεις
  • γ² = α² − β².
  • ε = γ/α.
Λύση και απάντηση
  1. γ² = 25 − 9 = 16 ⇒ γ = 4.
  2. ε = 45.

Απάντηση: γ = 4  ·  ε = 45

Είδος κωνικής τομής

Από το μάθημα «Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0» · Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Τι παριστάνει (αν δεν είναι εκφυλισμένη) η εξίσωση 4x² + 9y² + 24x − 18y + 37 = 0;
  1. Έλλειψη
  2. Κύκλος
  3. Υπερβολή
  4. Παραβολή
Υποδείξεις
  • Κοίτα τους συντελεστές των x² και y².
  • Α = Β: κύκλος · ΑΒ > 0 (Α ≠ Β): έλλειψη · ΑΒ < 0: υπερβολή · ένας από τους δύο 0: παραβολή.
Λύση και απάντηση
  1. Συντελεστές: x² → 4, y² → 9.
  2. Άρα: Έλλειψη.

Απάντηση: Έλλειψη

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 5 ερωτήσεις με απαντήσεις

  1. Ο κύκλος με κέντρο Ο(0, 0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση:

    • x + y = ρ
    • x² + y² = ρ
    • x² + y² = ρ²
    • x² − y² = ρ²
    Δες την απάντηση

    Σωστό: x² + y² = ρ². Απόσταση από την αρχή ίση με ρ.

    Περισσότερες: Ο κύκλος (Β΄ Λυκείου)

  2. Παραβολή λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που:

    • έχουν σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο σημεία
    • έχουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από δύο σημεία
    • απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σημείο
    • ισαπέχουν από σταθερό σημείο (εστία) και σταθερή ευθεία (διευθετούσα)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: ισαπέχουν από σταθερό σημείο (εστία) και σταθερή ευθεία (διευθετούσα). Ορισμός της παραβολής.

    Περισσότερες: Η παραβολή (Β΄ Λυκείου)

  3. Έλλειψη λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με:

    • ίσες αποστάσεις από σημείο και ευθεία
    • σταθερή απόσταση από ένα σημείο
    • σταθερή διαφορά αποστάσεων από δύο σημεία
    • σταθερό άθροισμα αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες)
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σταθερό άθροισμα αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες). Ορισμός της έλλειψης.

    Περισσότερες: Η έλλειψη (Β΄ Λυκείου)

  4. Υπερβολή λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων με:

    • ίσες αποστάσεις από σημείο και ευθεία
    • σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες)
    • σταθερή απόσταση από σημείο
    • σταθερό άθροισμα αποστάσεων
    Δες την απάντηση

    Σωστό: σταθερή απόλυτη διαφορά αποστάσεων 2α από δύο σημεία (εστίες). Ορισμός.

    Περισσότερες: Η υπερβολή (Β΄ Λυκείου)

  5. Η εξίσωση x² + y² − 2x − 4y + 1 = 0 παριστάνει:

    • κανένα σημείο
    • κύκλο με κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2
    • κύκλο με κέντρο (2, 4)
    • παραβολή
    Δες την απάντηση

    Σωστό: κύκλο με κέντρο (1, 2) και ακτίνα 2. (x − 1)² + (y − 2)² = 4.

    Περισσότερες: Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0 (Β΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Γραφικές παραστάσειςΛύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

ΤρίγωναΚριτήρια ισότητας τριγώνωνΠυθαγόρειο θεώρημαΘεώρημα του ΘαλήΌμοια τρίγωνα και ομοιότηταΓωνίεςΠαράλληλες ευθείεςΠαραλληλόγραμμα και τραπέζιαΌλα τα θέματα →