Ολοκληρώματα

Η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη διαδικασία της παραγώγισης, και με το ορισμένο ολοκλήρωμα υπολογίζουμε, μεταξύ άλλων, εμβαδά χωρίων. Εδώ θα βρεις το αόριστο και το ορισμένο ολοκλήρωμα, τις μεθόδους ολοκλήρωσης (αντικατάσταση, παραγοντική), το θεμελιώδες θεώρημα και τον υπολογισμό εμβαδού, όπως ζητούνται στις Πανελλήνιες.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα · Γ΄ Λυκείου →

Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση (ή παράγουσα) της f στο Δ λέγεται κάθε συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ με F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ.

Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ. Αν F είναι μια αρχική της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις G(x) = F(x) + c, c ∈ ℝ, είναι αρχικές της f στο Δ, και κάθε άλλη αρχική G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c.

f(x) = 0 → F(x) = c f(x) = 1 → F(x) = x + c

f(x) = x^α (α ≠ −1) → F(x) = x^α+1α + 1 + c f(x) = 1x → F(x) = ln|x| + c

f(x) = 1√x → F(x) = 2√x + c

Μέθοδοι ολοκλήρωσης · Γ΄ Λυκείου →

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx (παραγοντική)

∫f(g(x))g′(x)dx = ∫f(u)du, u = g(x) (αντικατάσταση)

Διαφορικές εξισώσεις · Γ΄ Λυκείου →

f′(x) = f(x) για κάθε x ∈ ℝ ⇔ f(x) = ce^x

Ορισμένο ολοκλήρωμα · Γ΄ Λυκείου →

Χωρίζουμε το [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα πλάτους Δx = β − αν με σημεία x₀ = α < x₁ < … < x_ν = β και διαλέγουμε ξ_κ ∈ [x_κ−1, x_κ]. Το άθροισμα S_ν = f(ξ₁)Δx + … + f(ξ_ν)Δx λέγεται άθροισμα Riemann.

Για συνεχή f στο [α, β], το όριο lim_ν→∞ S_ν υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ξ_κ. Λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β: ∫_α^β f(x)dx.

Αν f ≥ 0 στο [α, β], τότε ∫_α^β f(x)dx ≥ 0, και ισούται με το εμβαδόν E(Ω).

∫_α^β c dx = c(β − α)

Έστω f, g συνεχείς στο [α, β] και λ, μ ∈ ℝ. Τότε:

Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα · Γ΄ Λυκείου →

Αν f είναι συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ και α ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F(x) = ∫_α^x f(t)dt, x ∈ Δ, είναι μια αρχική της f στο Δ, δηλαδή (∫_α^x f(t)dt)′ = f(x) για κάθε x ∈ Δ.

(∫_α^g(x) f(t)dt)′ = f(g(x)) · g′(x) (όταν ορίζεται η σύνθεση)

Έστω f συνεχής συνάρτηση σε διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια αρχική της f στο [α, β], τότε ∫_α^β f(t)dt = G(β) − G(α).

∫_α^β f(x)dx = [G(x)]_α^β = G(β) − G(α)

Παραγοντική: ∫_α^β f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]_α^β − ∫_α^β f′(x)g(x)dx (f′, g′ συνεχείς)

Εμβαδόν επίπεδου χωρίου · Γ΄ Λυκείου →

Αν f συνεχής στο [α, β] και f(x) ≥ 0, το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη C_f, τον x′x και τις x = α, x = β είναι E(Ω) = ∫_α^β f(x)dx.

Αν f(x) ≤ 0 στο [α, β], τότε E(Ω) = −∫_α^β f(x)dx.

Αν f, g συνεχείς στο [α, β] και f(x) ≥ g(x) για κάθε x ∈ [α, β], το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των C_f, C_g και των x = α, x = β είναι E(Ω) = ∫_α^β (f(x) − g(x))dx.

Γενικά: E = ∫_α^β |f(x) − g(x)| dx

Λυμένες ασκήσεις: Ολοκληρώματα

Αόριστο ολοκλήρωμα

Από το μάθημα «Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να βρείτε το ∫ (−2x³ − 2x + 3e^3x) dx, x > 0.

Υποδείξεις

∫x^νdx = x^ν+1/(ν + 1), ∫(1/x)dx = ln|x|, ∫e^κxdx = e^κx/κ.
Γράψε τη λογαριθμική ως ln(x) και την εκθετική ως e^(3x).

Λύση και απάντηση

∫−2x³dx = −12x⁴.
∫−2xdx = −2ln x.
∫3e^3xdx = 1e^3x.

Απάντηση: F(x) = -(1/2)x^4-2ln(x)+e^(3x) + c

Εκθετική μεταβολή

Από το μάθημα «Διαφορικές εξισώσεις» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Η y = y(x) ικανοποιεί y′ = 2y με y(0) = 2. Να βρείτε το y(ln 22).

Υποδείξεις

Η λύση είναι y = c·e^2x.
e^{2·(ln 2)/2} = e^{ln 2} = 2.

Λύση και απάντηση

y = 2e^2x.
y = 2·2 = 4.

Απάντηση: 4

Εμβαδόν ανάμεσα σε παραβολή και ευθεία

Από το μάθημα «Εμβαδόν επίπεδου χωρίου» · Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου

Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την y = x² και την y = −x.

Υποδείξεις

Σημεία τομής: x² = −1x ⇔ x = 0 ή x = −1.
E = ∫|−1x − x²|dx ανάμεσα στις τομές.

Λύση και απάντηση

Τομές: 0 και −1.
E = |∫₀⁻¹(−1x − x²)dx| = |−1³|/6 = 16.

Απάντηση: 16

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

Αρχική (παράγουσα) της f σε διάστημα Δ λέγεται κάθε F με:
- F(x) = f(x)
- F(x) = f′(x)
- F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ
- F″ = f
Δες την απάντηση
Σωστό: F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ. Ορισμός.
Περισσότερες: Αρχική συνάρτηση – Αόριστο ολοκλήρωμα (Γ΄ Λυκείου)
Ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες είναι ∫f(x)g′(x)dx =
- f(x)g(x) + ∫f′(x)g(x)dx
- f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx
- f′(x)g(x)
- ∫f(x)dx·∫g′(x)dx
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x)g(x) − ∫f′(x)g(x)dx. Από τον κανόνα γινομένου.
Περισσότερες: Μέθοδοι ολοκλήρωσης (Γ΄ Λυκείου)
Η διαφορική εξίσωση y′ = y έχει γενική λύση:
- y = ce^x
- y = cx
- y = ln x + c
- y = x + c
Δες την απάντηση
Σωστό: y = ce^x. (ye^(−x))′ = 0.
Περισσότερες: Διαφορικές εξισώσεις (Γ΄ Λυκείου)
Αν f(x) ≥ 0 στο [α, β], το ∫ₐᵇ f(x)dx εκφράζει:
- τη μέση τιμή της f′
- την κλίση της f
- το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β
- το μήκος της Cf
Δες την απάντηση
Σωστό: το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β. Γεωμετρική ερμηνεία.
Περισσότερες: Ορισμένο ολοκλήρωμα (Γ΄ Λυκείου)
Αν η f είναι συνεχής σε Δ και α ∈ Δ, τότε η F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt έχει F′(x) =
- 0
- F(x)
- f(x)
- f(α)
Δες την απάντηση
Σωστό: f(x). Θεμελιώδες θεώρημα, 1ο μέρος.
Περισσότερες: Η συνάρτηση F(x) = ∫ₐˣ f(t)dt – Θεμελιώδες θεώρημα (Γ΄ Λυκείου)
Το εμβαδόν μεταξύ Cf, x′x και των x = α, x = β (f συνεχής) είναι:
- f(β)·(β − α)
- |f(β) − f(α)|
- ∫ₐᵇ f(x)dx πάντα
- ∫ₐᵇ |f(x)|dx
Δες την απάντηση
Σωστό: ∫ₐᵇ |f(x)|dx. Με απόλυτη τιμή, γιατί η f μπορεί να είναι αρνητική.
Περισσότερες: Εμβαδόν επίπεδου χωρίου (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Ολοκληρώματα & εμβαδά Παράγωγος & εφαπτομένη Λύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Συναρτήσεις Η συνάρτηση y = αx + β Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ (παραβολή)Λογάριθμοι Μονοτονία και ακρότατα Μελέτη συνάρτησης Όρια συναρτήσεων Συνέχεια συνάρτησης Όλα τα θέματα →