MathGreeceMathGreece

Τυπολόγιο: Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Διανύσματα

1.1 Η έννοια του διανύσματος

Διάνυσμα λέγεται ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα: το πρώτο λέγεται αρχή και το δεύτερο πέρας. Συμβολίζεται AB (με βέλος) ή με ένα γράμμα α.

Μέτρο |AB| είναι η απόσταση των A, B. Μοναδιαίο λέγεται ένα διάνυσμα με μέτρο 1.

Φορέας ενός μη μηδενικού διανύσματος είναι η ευθεία AB. Δύο μη μηδενικά διανύσματα λέγονται παράλληλα (συγγραμμικά) όταν έχουν τον ίδιο ή παράλληλους φορείς.

Ίσα διανύσματα: ομόρροπα με ίσα μέτρα. Αντίθετα: αντίρροπα με ίσα μέτρα· το αντίθετο του α είναι το −α, και AB = −BA.

Γωνία δύο διανυσμάτων α, β: η κυρτή γωνία AÔB που σχηματίζεται όταν τα μεταφέρουμε με κοινή αρχή O (OA = α, OB = β). Συμβολίζεται (α, β) και 0 ≤ θ ≤ π.

Σε παραλληλόγραμμο ABΓΔ: AB = ΔΓ και AΔ = BΓ. Αντίστροφα, AB = ΔΓ ⇔ το ABΓΔ είναι παραλληλόγραμμο (ή τα σημεία είναι συνευθειακά).

1.2 Πρόσθεση και αφαίρεση διανυσμάτων

Για α, β: παίρνουμε σημείο O, σχεδιάζουμε OA = α και AM = β. Το διάνυσμα OM λέγεται άθροισμα α + β.

AB + BΓ = AΓ  (για οποιαδήποτε σημεία A, B, Γ)
Ιδιότητες: α + β = β + α (αντιμεταθετική), (α + β) + γ = α + (β + γ) (προσεταιριστική), α + 0 = α, α + (−α) = 0.

Διαφορά α − β = α + (−β). Αν OA = α και OB = β, τότε α − β = BA.

AB = OB − OA  (κάθε διάνυσμα = διάνυσμα θέσης πέρατος − διάνυσμα θέσης αρχής)
||α| − |β|| ≤ |α + β| ≤ |α| + |β|

1.3 Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Για λ ∈ ℝ και α ≠ 0, το γινόμενο λα είναι διάνυσμα: ομόρροπο του α αν λ > 0, αντίρροπο αν λ < 0, με μέτρο |λ| · |α|. Αν λ = 0 ή α = 0, λα = 0.

λ(α + β) = λα + λβ  (λ + μ)α = λα + μα  λ(μα) = (λμ)α
λα = 0 ⇔ λ = 0 ή α = 0  λα = λβ ⇔ α = β (λ ≠ 0)  λα = μα ⇔ λ = μ (α ≠ 0)

Γραμμικός συνδυασμός των α, β: κάθε διάνυσμα κα + λβ.

Αν β ≠ 0, τότε α ∥ β ⇔ α = λβ για κάποιο λ ∈ ℝ.
Αν M είναι το μέσο του AB και O οποιοδήποτε σημείο, τότε OM = OA + OB2.
Αν G είναι το βαρύκεντρο τριγώνου ABΓ και O τυχαίο σημείο: OG = OA + OB + OΓ3 και GA + GB + GΓ = 0.

1.4 Συντεταγμένες στο επίπεδο

Στο καρτεσιανό επίπεδο με μοναδιαία i, j (κάθετα), κάθε διάνυσμα α γράφεται μοναδικά α = xi + yj. Τα x, y λέγονται συντεταγμένες του α: α = (x, y).

α = (x1, y1), β = (x2, y2): α + β = (x1 + x2, y1 + y2)  λα = (λx1, λy1)
α = β ⇔ x1 = x2 και y1 = y2
A(x1, y1), B(x2, y2): AB = (x2 − x1, y2 − y1)
Μέσο M: (x1 + x22, y1 + y22)  Βαρύκεντρο: (x1 + x2 + x33, y1 + y2 + y33)
Αν α = (x, y), τότε |α| = √x2 + y2.
(AB) = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Ορίζουσα των α = (x1, y1), β = (x2, y2): det(α, β) = x1y2 − x2y1.

α ∥ β ⇔ det(α, β) = 0.

Αν α = (x, y) με x ≠ 0, ο συντελεστής διεύθυνσης του α είναι λ = yx = εφφ, όπου φ η γωνία που σχηματίζει το α με τον x′x. Αν x = 0 (α ∥ y′y), δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης.

Αν α, β δεν είναι κατακόρυφα: α ∥ β ⇔ λ1 = λ2.

1.5 Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων α, β είναι ο αριθμός α · β = |α| · |β| · συνθ, θ = (α, β). Αν α = 0 ή β = 0, ορίζουμε α · β = 0.

α · β = β · α  α ⊥ β ⇔ α · β = 0  α ↑↑ β ⇒ α · β = |α||β|  α ↑↓ β ⇒ α · β = −|α||β|
α2 = α · α = |α|2
Αναλυτική έκφραση: αν α = (x1, y1) και β = (x2, y2), τότε α · β = x1x2 + y1y2.
(λα) · β = α · (λβ) = λ(α · β)  α · (β + γ) = α · β + α · γ
|α + β|2 = |α|2 + 2α · β + |β|2  (α + β)(α − β) = |α|2 − |β|2
α ⊥ β ⇔ λ1λ2 = −1 (για μη κατακόρυφα και μη οριζόντια διανύσματα).
συνθ = α · β∣α∣ · ∣β∣ = x1x2 + y1y2√x12 + y12 · √x22 + y22

Προβολή του β πάνω στο α (≠ 0): το διάνυσμα προβαβ = OM1, όπου M1 η προβολή του πέρατος του β στον φορέα του α.

α · β = α · προβαβ.

2. Η ευθεία στο επίπεδο

2.1 Εξίσωση ευθείας

Γωνία της ευθείας ε με τον x′x: η γωνία ω (0 ≤ ω < π) που διαγράφει ο x′x στρεφόμενος αριστερόστροφα μέχρι να γίνει παράλληλος με την ε. Συντελεστής διεύθυνσης λ = εφω (για ω ≠ π2).

λ = y2 − y1x2 − x1  (A(x1, y1), B(x2, y2) με x1 ≠ x2)
ε1 ∥ ε2 ⇔ λ1 = λ2  ε1 ⊥ ε2 ⇔ λ1λ2 = −1
Η ευθεία που διέρχεται από το A(x0, y0) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ έχει εξίσωση y − y0 = λ(x − x0).
Από δύο σημεία (x1 ≠ x2): y − y1 = y2 − y1x2 − x1(x − x1)
Κατακόρυφη από το A(x0, y0): x = x0  Οριζόντια: y = y0
y = λx + β  (β: τεταγμένη επί την αρχή)  Από την αρχή O: y = λx

2.2 Γενική μορφή εξίσωσης ευθείας

Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Ax + By + Γ = 0, με A ≠ 0 ή B ≠ 0· και αντίστροφα, κάθε τέτοια εξίσωση παριστάνει ευθεία.

Η ευθεία Ax + By + Γ = 0 είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (B, −A) και κάθετη στο διάνυσμα n = (A, B).

λ = −AB  (B ≠ 0)

2.3 Απόσταση σημείου από ευθεία – Εμβαδόν τριγώνου

Η απόσταση του σημείου M0(x0, y0) από την ευθεία ε: Ax + By + Γ = 0 είναι d(M0, ε) = ∣Ax0 + By0 + Γ∣√A2 + B2.
Το εμβαδόν τριγώνου ABΓ είναι (ABΓ) = 12|det(AB, AΓ)|.

3. Κωνικές τομές

3.1 Ο κύκλος

Κύκλος με κέντρο K και ακτίνα ρ: το σύνολο των σημείων M του επιπέδου με (KM) = ρ.

Ο κύκλος με κέντρο K(x0, y0) και ακτίνα ρ έχει εξίσωση (x − x0)2 + (y − y0)2 = ρ2.
Κέντρο O(0, 0): x2 + y2 = ρ2
Η εφαπτομένη του κύκλου x2 + y2 = ρ2 στο σημείο του A1(x1, y1) έχει εξίσωση xx1 + yy1 = ρ2.
Κύκλος κέντρου (x0, y0): (x − x0)(x1 − x0) + (y − y0)(y1 − y0) = ρ2
Μήκος χορδής: 2√ρ2 − d2  (d η απόσταση του κέντρου από τη χορδή)
Κάθε κύκλος έχει εξίσωση x2 + y2 + Ax + By + Γ = 0. Αντίστροφα, μια τέτοια εξίσωση με A2 + B2 − 4Γ > 0 παριστάνει κύκλο με κέντρο K(−A2, −B2) και ακτίνα ρ = √A2 + B2 − 4Γ2.

3.2 Η παραβολή

Παραβολή με εστία E και διευθετούσα δ (E ∉ δ) είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το E και την ευθεία δ.

Η παραβολή με εστία E(p2, 0) και διευθετούσα δ: x = −p2 έχει εξίσωση y2 = 2px.
Εστία E(0, p2), διευθετούσα y = −p2: x2 = 2py
Η εφαπτομένη της παραβολής y2 = 2px στο σημείο της M1(x1, y1) έχει εξίσωση yy1 = p(x + x1).
Παραβολή x2 = 2py: εφαπτομένη στο (x1, y1): xx1 = p(y + y1)
Ανακλαστική ιδιότητα: η κάθετη στην εφαπτομένη σε σημείο M1 της παραβολής διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία M1E και η ημιευθεία από το M1 παράλληλη στον άξονα της παραβολής.

3.3 Η έλλειψη

Έλλειψη με εστίες E′, E είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου με (ME′) + (ME) = 2α, όπου 2α σταθερό και 2α > (E′E) = 2γ.

Η έλλειψη με εστίες E′(−γ, 0), E(γ, 0) και σταθερό άθροισμα 2α έχει εξίσωση x2α2 + y2β2 = 1, όπου β = √α2 − γ2.
Εστίες στον y′y: x2β2 + y2α2 = 1,  E′(0, −γ), E(0, γ)

Εκκεντρότητα ε = γα, 0 < ε < 1. Ισχύει βα = √1 − ε2: όσο το ε πλησιάζει το 0 η έλλειψη τείνει σε κύκλο, όσο πλησιάζει το 1 γίνεται πιο «επιμήκης».

Η εφαπτομένη της έλλειψης x2α2 + y2β2 = 1 στο σημείο της M1(x1, y1) έχει εξίσωση xx1α2 + yy1β2 = 1.

3.4 Η υπερβολή

Υπερβολή με εστίες E′, E είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου με |(ME′) − (ME)| = 2α, όπου 2α σταθερό και 0 < 2α < (E′E) = 2γ.

Η υπερβολή με εστίες E′(−γ, 0), E(γ, 0) και σταθερή διαφορά 2α έχει εξίσωση x2α2 − y2β2 = 1, όπου β = √γ2 − α2.
Εστίες στον y′y: y2α2 − x2β2 = 1
Οι ευθείες y = βαx και y = −βαx είναι ασύμπτωτες της υπερβολής x2α2 − y2β2 = 1.

ε = γα > 1 και βα = √ε2 − 1: όσο μεγαλώνει το ε, τόσο πιο «ανοιχτοί» είναι οι κλάδοι.

Ισοσκελής υπερβολή: α = β· εξίσωση x2 − y2 = α2, ασύμπτωτες y = ±x (κάθετες), ε = √2.

Η εφαπτομένη της x2α2 − y2β2 = 1 στο σημείο της M1(x1, y1) έχει εξίσωση xx1α2 − yy1β2 = 1.

3.5 Η εξίσωση Αx² + Βy² + Γx + Δy + Ε = 0

Παράλληλη μεταφορά: αν θέσουμε X = x − x0, Y = y − y0, η καμπύλη μελετάται στο νέο σύστημα με αρχή το K.

4. Θεωρία αριθμών

4.2 Ευκλείδεια διαίρεση

α = κβ + υ,  0 ≤ υ < |β|

4.4 Μέγιστος κοινός διαιρέτης – Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

(α, β) · [α, β] = |αβ|

Όλα τα μαθήματα: Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου →