Πιθανότητες

Όταν όλα τα αποτελέσματα ενός πειράματος είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι P(A) = Ν(Α)Ν(Ω), δηλαδή ευνοϊκές περιπτώσεις προς δυνατές περιπτώσεις. Εδώ θα βρεις δειγματικό χώρο και ενδεχόμενα, κανόνες λογισμού πιθανοτήτων, συνδυαστική και δεσμευμένη πιθανότητα.

Σε ποια μαθήματα θα το βρεις

Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού

Πιθανότητες

Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Βασικοί τύποι και κανόνες

Πιθανότητες · Ε΄ Δημοτικού →

Όταν όλα τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι:

Πιθανότητα = ευνοϊκά αποτελέσματαόλα τα δυνατά αποτελέσματα

Έννοια της πιθανότητας · Γ΄ Γυμνασίου →

Όταν όλα τα αποτελέσματα ενός πειράματος είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου A είναι:

P(A) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεωνπλήθος δυνατών περιπτώσεων = N(A)N(Ω)

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(Ω) = 1 P(∅) = 0

Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα · Α΄ Λυκείου →

Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Ενδεχόμενο: κάθε υποσύνολο του Ω.

Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα · Γ΄ Λυκείου →

Πείραμα τύχης: πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, αν και επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.

Ενδεχόμενο: κάθε υποσύνολο του Ω. Ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του. Απλό ενδεχόμενο: ένα μόνο αποτέλεσμα.

A ∩ B: πραγματοποιούνται και τα δύο A ∪ B: πραγματοποιείται ένα τουλάχιστον

A′: δεν πραγματοποιείται το A A − B = A ∩ B′: πραγματοποιείται μόνο το A

Ασυμβίβαστα: A ∩ B = ∅ (δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα).

Η έννοια της πιθανότητας · Γ΄ Λυκείου →

Αν τα απλά ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα: P(A) = N(A)N(Ω) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεωνπλήθος δυνατών περιπτώσεων.

P(Ω) = 1 P(∅) = 0 0 ≤ P(A) ≤ 1

Για Ω = {ω₁, …, ω_ν}, αντιστοιχίζουμε σε κάθε ω_i αριθμό P(ω_i) με 0 ≤ P(ω_i) ≤ 1 και P(ω₁) + … + P(ω_ν) = 1. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των απλών ενδεχομένων του.

Για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα A, B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (απλός προσθετικός νόμος).

P(A′) = 1 − P(A).

Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα · Γ΄ Λυκείου →

Δεσμευμένη πιθανότητα του A με δεδομένο ότι πραγματοποιήθηκε το B (P(B) > 0):

P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

Πολλαπλασιαστικός νόμος: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B) = P(A) · P(B | A)

Δύο ενδεχόμενα A, B λέγονται ανεξάρτητα όταν P(A ∩ B) = P(A) · P(B), δηλαδή (για P(B) > 0) P(A | B) = P(A): η πραγματοποίηση του B δεν επηρεάζει την πιθανότητα του A.

Αν τα A, B είναι ανεξάρτητα, τότε ανεξάρτητα είναι και τα A, B′ (όπως και A′, B και A′, B′).

Λυμένες ασκήσεις: Πιθανότητες

Πιθανότητα

Από το μάθημα «Πιθανότητες» · Μαθηματικά Ε΄ Δημοτικού

Ένα κουτί έχει 6 κόκκινες, 6 μπλε και 5 πράσινες μπάλες. Παίρνουμε μία χωρίς να κοιτάξουμε. Ποια είναι η πιθανότητα να είναι κόκκινη;

Υποδείξεις

Πιθανότητα = ευνοϊκές περιπτώσεις : όλες οι περιπτώσεις.

Λύση και απάντηση

Ευνοϊκές: 6, όλες: 17.
P = 617.

Απάντηση: 617

Κλασικός ορισμός με δύο ζάρια

Από το μάθημα «Έννοια της πιθανότητας» · Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Ρίχνουμε δύο ζάρια. Ποια είναι η πιθανότητα το μέγιστο των ενδείξεων να είναι 4;

Υποδείξεις

|Ω| = 36 ισοπίθανα ζεύγη.
Μέτρησε προσεκτικά τα ευνοϊκά ζεύγη (ή το συμπλήρωμα).

Λύση και απάντηση

Ευνοϊκά: 7.
P = 736.

Απάντηση: 736

Δεσμευμένη πιθανότητα από πίνακα

Από το μάθημα «Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα» · Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

Σε ένα σχολείο:

	Αγόρια	Κορίτσια
Παίζουν μπάσκετ	17	8
Δεν παίζουν	11	18

Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Αν ξέρουμε ότι παίζει μπάσκετ, ποια η πιθανότητα να είναι κορίτσι;

Υποδείξεις

P(Κ | Μ) = P(Κ ∩ Μ)P(Μ).
Αρκεί να μετρήσεις μέσα στη γραμμή «Παίζουν μπάσκετ».

Λύση και απάντηση

Παίζουν μπάσκετ: 25, από τους οποίους κορίτσια 8.
P = 825.

Απάντηση: 825

Δοκίμασε τον εαυτό σου: 6 ερωτήσεις με απαντήσεις

Ποιο από τα παρακάτω είναι πείραμα τύχης;
- η ανάγνωση ενός βιβλίου
- η μέτρηση του μήκους ενός θρανίου
- η πρόσθεση 2 + 3
- η ρίψη ενός ζαριού
Δες την απάντηση
Σωστό: η ρίψη ενός ζαριού. Σε ένα πείραμα τύχης δεν μπορούμε να προβλέψουμε με βεβαιότητα το αποτέλεσμα.
Περισσότερες: Πιθανότητες (Ε΄ Δημοτικού)
Η πιθανότητα ενδεχομένου A (ισοπίθανα αποτελέσματα) είναι:
- P(A) = N(A)N(Ω)
- P(A) = N(A) · N(Ω)
- P(A) = N(Ω)N(A)
- P(A) = N(Ω) − N(A)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(A) = N(A)N(Ω). Ευνοϊκές προς δυνατές.
Περισσότερες: Έννοια της πιθανότητας (Γ΄ Γυμνασίου)
Ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός νομίσματος δύο φορές έχει:
- 2 στοιχεία
- 3 στοιχεία
- 4 στοιχεία
- 8 στοιχεία
Δες την απάντηση
Σωστό: 4 στοιχεία. ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ.
Περισσότερες: Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα (Α΄ Λυκείου)
Δειγματικός χώρος Ω λέγεται:
- ένα αποτέλεσμα
- μια πιθανότητα
- το κενό σύνολο
- το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης
Δες την απάντηση
Σωστό: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Ορισμός.
Περισσότερες: Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα (Γ΄ Λυκείου)
Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας (ισοπίθανα αποτελέσματα) είναι:
- P(Α) = 1 − Ν(Α)
- P(Α) = Ν(Α)
- P(Α) = Ν(Α)/Ν(Ω)
- P(Α) = Ν(Ω)/Ν(Α)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Α) = Ν(Α)/Ν(Ω). Ευνοϊκές προς δυνατές περιπτώσεις.
Περισσότερες: Η έννοια της πιθανότητας (Γ΄ Λυκείου)
Η δεσμευμένη πιθανότητα P(Α|Β), με P(Β) > 0, είναι:
- P(Α ∩ Β)/P(Α)
- P(Α ∩ Β)/P(Β)
- P(Α)/P(Β)
- P(Α)·P(Β)
Δες την απάντηση
Σωστό: P(Α ∩ Β)/P(Β). Ορισμός.
Περισσότερες: Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα (Γ΄ Λυκείου)

Εργαλεία που βοηθούν

Στατιστική Λύσε την άσκησή μου

Σχετικά θέματα

Στατιστική Φυσικοί αριθμοί Κλάσματα Δεκαδικοί αριθμοί Στρογγυλοποίηση Ποσοστά Ανάλογα και αντιστρόφως ανάλογα ποσά Λόγος και αναλογία Όλα τα θέματα →