Τυπολόγιο: Γενικής και ΕΠΑΛ Γ΄ Λυκείου

1.1α Συναρτήσεις – Γραφικές παραστάσεις – Μονοτονία – Ακρότατα

Συνάρτηση από ένα σύνολο A σε ένα σύνολο B είναι μια διαδικασία f με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο στοιχείο y = f(x) του B. Το A λέγεται πεδίο ορισμού, το x ανεξάρτητη και το y εξαρτημένη μεταβλητή.

Σύνολο τιμών f(A): όλες οι τιμές f(x) για x ∈ A.

Γραφική παράσταση C_f: το σύνολο των σημείων M(x, f(x)), x ∈ A.

f γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ όταν για x₁ < x₂ στο Δ ισχύει f(x₁) < f(x₂)· γνησίως φθίνουσα όταν f(x₁) > f(x₂).

Η f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο x₀ όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x₀).

1.1β Όριο και συνέχεια συνάρτησης

Γράφουμε lim_x→x0 f(x) = ℓ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε τον αριθμό ℓ, για x αρκετά κοντά στο x₀ (x ≠ x₀).

Η f είναι συνεχής στο x₀ του πεδίου ορισμού της όταν lim_x→x0 f(x) = f(x₀). Συνεχής λέγεται όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

1.2 Η έννοια της παραγώγου

Η παράγωγος της f στο x₀ είναι το όριο (αν υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός):

Η εφαπτομένη της C_f στο A(x₀, f(x₀)) είναι η ευθεία που διέρχεται από το A και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ = f′(x₀):

1.3α Παράγωγος συνάρτησης – Βασικοί τύποι και κανόνες

Αν η f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε x ενός συνόλου, η συνάρτηση x ↦ f′(x) λέγεται (πρώτη) παράγωγος της f.

1.3β Σύνθετες συναρτήσεις – Δεύτερη παράγωγος – Ρυθμός μεταβολής

Αν η g είναι παραγωγίσιμη στο x και η f στο g(x), τότε (f(g(x)))′ = f′(g(x)) · g′(x) (κανόνας της αλυσίδας).

Η παράγωγος της f′ λέγεται δεύτερη παράγωγος: f″ = (f′)′. Στην κίνηση, η παράγωγος της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση: α(t) = υ′(t) = S″(t).

Ο ρυθμός μεταβολής του y = f(x) ως προς x, στο x₀, είναι f′(x₀).

1.4α Μονοτονία και ακρότατα με τη βοήθεια της παραγώγου

Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x₀ όταν f(x) ≤ f(x₀) για x κοντά στο x₀, και τοπικό ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x₀).

1.4β Προβλήματα βελτιστοποίησης

2.1 Βασικές έννοιες της Στατιστικής

Πληθυσμός: το σύνολο των ατόμων (μονάδων) που μελετάμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Δείγμα: ένα υποσύνολο του πληθυσμού που εξετάζουμε στην πράξη.

Μεταβλητή: το χαρακτηριστικό που μελετάμε.

Συχνότητα ν_i μιας τιμής x_i: πόσες φορές εμφανίζεται. Σχετική συχνότητα f_i = ν_iν.

2.2α Παρουσίαση δεδομένων – Πίνακες συχνοτήτων και διαγράμματα

Για ποσοτική μεταβλητή με τιμές x₁ < x₂ < … < x_κ:

2.2β Ομαδοποίηση – Ιστογράμματα – Καμπύλες συχνοτήτων

Ιστόγραμμα συχνοτήτων: διαδοχικά ορθογώνια με βάση το πλάτος κάθε κλάσης και ύψος τέτοιο ώστε το εμβαδόν να ισούται με τη συχνότητα (για ίσα πλάτη, ύψος ανάλογο της συχνότητας).

2.3α Μέτρα θέσης: μέση τιμή, διάμεσος, τεταρτημόρια, επικρατούσα τιμή

Διάμεσος δ ν παρατηρήσεων διατεταγμένων σε αύξουσα σειρά: η μεσαία παρατήρηση αν ν περιττός, ο μέσος όρος των δύο μεσαίων αν ν άρτιος. Το 50% των παρατηρήσεων είναι μικρότερες ή ίσες της δ.

2.3β Μέτρα διασποράς – Κανονική κατανομή – Συντελεστής μεταβολής

Διακύμανση (διασπορά): s² = 1νΣ(t_i − x̄)².

Τυπική απόκλιση: s = √s² (στις ίδιες μονάδες με τα δεδομένα).

2.4 Γραμμική παλινδρόμηση

Η ευθεία παλινδρόμησης (ελαχίστων τετραγώνων) της Y πάνω στη X είναι η ευθεία y = α + βx για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των κατακόρυφων αποστάσεων Σ(y_i − α − βx_i)² γίνεται ελάχιστο.

2.5 Γραμμική συσχέτιση

Συντελεστής γραμμικής συσχέτισης (Pearson) των μεταβλητών X, Y:

3.1 Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα

Πείραμα τύχης: πείραμα του οποίου δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, αν και επαναλαμβάνεται κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.

Ενδεχόμενο: κάθε υποσύνολο του Ω. Ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα του πειράματος είναι στοιχείο του. Απλό ενδεχόμενο: ένα μόνο αποτέλεσμα.

Ασυμβίβαστα: A ∩ B = ∅ (δεν μπορούν να πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα).

3.2 Η έννοια της πιθανότητας

Αν τα απλά ενδεχόμενα ενός πεπερασμένου δειγματικού χώρου είναι ισοπίθανα: P(A) = N(A)N(Ω) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεωνπλήθος δυνατών περιπτώσεων.

Για Ω = {ω₁, …, ω_ν}, αντιστοιχίζουμε σε κάθε ω_i αριθμό P(ω_i) με 0 ≤ P(ω_i) ≤ 1 και P(ω₁) + … + P(ω_ν) = 1. Η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των απλών ενδεχομένων του.

3.3 Συνδυαστική

Αν μια διαδικασία γίνεται σε κ στάδια με ν₁, ν₂, …, ν_κ τρόπους αντίστοιχα, τότε γίνεται με ν₁ · ν₂ · … · ν_κ τρόπους (πολλαπλασιαστική αρχή).

Διατάξεις των ν στοιχείων ανά κ (κ ≤ ν): οι διαφορετικές διατεταγμένες κ-άδες χωρίς επανάληψη (μετράει η σειρά).

Μεταθέσεις ν στοιχείων: οι διατάξεις τους ανά ν.

Συνδυασμοί των ν ανά κ: τα υποσύνολα κ στοιχείων ενός συνόλου ν στοιχείων (δεν μετράει η σειρά).

3.4 Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα

Δεσμευμένη πιθανότητα του A με δεδομένο ότι πραγματοποιήθηκε το B (P(B) > 0):

Δύο ενδεχόμενα A, B λέγονται ανεξάρτητα όταν P(A ∩ B) = P(A) · P(B), δηλαδή (για P(B) > 0) P(A | B) = P(A): η πραγματοποίηση του B δεν επηρεάζει την πιθανότητα του A.