Τυπολόγιο: Άλγεβρα Β΄ Λυκείου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Άλγεβρα Β΄ Λυκείου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Συστήματα

1.1 Γραμμικά συστήματα

Γραμμική εξίσωση με αγνώστους x, y λέγεται κάθε εξίσωση της μορφής αx + βy = γ, όπου α, β, γ πραγματικοί αριθμοί με α ≠ 0 ή β ≠ 0. Λύση της είναι κάθε ζεύγος (x₀, y₀) που την επαληθεύει.

Σύστημα (Σ): αx + βy = γ, α′x + β′y = γ′. Λύση του είναι κάθε ζεύγος που επαληθεύει και τις δύο εξισώσεις.

Ορίζουσα του συστήματος:

D = αβ′ − α′β D_x = γβ′ − γ′β D_y = αγ′ − α′γ

Αν D ≠ 0, το σύστημα έχει μοναδική λύση x = D_xD, y = D_yD. Αν D = 0, το σύστημα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις.

2. Ιδιότητες συναρτήσεων

2.1 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες

f γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ: για x₁, x₂ ∈ Δ με x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Γνησίως φθίνουσα: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂). Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη στο Δ.

Η f με πεδίο A παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x₀ ∈ A όταν f(x) ≥ f(x₀) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) μέγιστο όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A.

f άρτια: για κάθε x ∈ A ισχύει −x ∈ A και f(−x) = f(x). Η C_f είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y′y.

f περιττή: για κάθε x ∈ A ισχύει −x ∈ A και f(−x) = −f(x). Η C_f είναι συμμετρική ως προς την αρχή O.

2.2 Κατακόρυφη – Οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

Η C_g της g(x) = f(x) + c, c > 0, προκύπτει με κατακόρυφη μετατόπιση της C_f κατά c μονάδες προς τα πάνω· της g(x) = f(x) − c κατά c μονάδες προς τα κάτω.

Η C_g της g(x) = f(x − c), c > 0, προκύπτει με οριζόντια μετατόπιση της C_f κατά c μονάδες προς τα δεξιά· της g(x) = f(x + c) κατά c μονάδες προς τα αριστερά.

y = α(x − p)² + q: παραβολή με κορυφή (p, q) y = |x − p| + q: «κορυφή» στο (p, q)

3. Τριγωνομετρία

3.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνίας

Ακτίνιο (rad) είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο μήκους ίσου με την ακτίνα του κύκλου.

π rad = 180° μ180 = απ (μ μοίρες, α ακτίνια)

1 rad = 180°π ≈ 57,3° 1° = π180 rad

Για γωνία ω με αρχική πλευρά τον Ox και τελική πλευρά που διέρχεται από σημείο M(x, y) ≠ O, με ρ = √x² + y²:

ημω = yρ συνω = xρ εφω = yx (x ≠ 0) σφω = xy (y ≠ 0)

Τριγωνομετρικός κύκλος: κύκλος κέντρου O και ακτίνας 1. Αν M(x, y) το σημείο του όπου η τελική πλευρά της ω τέμνει τον κύκλο: συνω = x (τετμημένη), ημω = y (τεταγμένη).

−1 ≤ ημω ≤ 1 −1 ≤ συνω ≤ 1

ημ(2κπ + ω) = ημω συν(2κπ + ω) = συνω εφ(κπ + ω) = εφω (κ ∈ ℤ)

Βασικές γωνίες: 0, π6, π4, π3, π2 με ημ 0, 12, √22, √32, 1 και συν 1, √32, √22, 12, 0

3.2 Βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες

Για κάθε γωνία ω ισχύει ημ²ω + συν²ω = 1.

Αν συνω ≠ 0 τότε εφω = ημωσυνω· αν ημω ≠ 0 τότε σφω = συνωημω· αν ημω συνω ≠ 0 τότε εφω · σφω = 1.

συν²ω = 11 + εφ²ω και ημ²ω = εφ²ω1 + εφ²ω (συνω ≠ 0).

1 + σφ²ω = 1ημ²ω (ημω ≠ 0)

3.3 Αναγωγή στο 1ο τεταρτημόριο

Αντίθετες γωνίες: ημ(−ω) = −ημω, συν(−ω) = συνω, εφ(−ω) = −εφω, σφ(−ω) = −σφω.

Παραπληρωματικές γωνίες: ημ(π − ω) = ημω, συν(π − ω) = −συνω, εφ(π − ω) = −εφω, σφ(π − ω) = −σφω.

Γωνίες που διαφέρουν κατά π: ημ(π + ω) = −ημω, συν(π + ω) = −συνω, εφ(π + ω) = εφω, σφ(π + ω) = σφω.

Συμπληρωματικές γωνίες: ημ(π2 − ω) = συνω, συν(π2 − ω) = ημω, εφ(π2 − ω) = σφω, σφ(π2 − ω) = εφω.

ημ(π2 + ω) = συνω συν(π2 + ω) = −ημω εφ(π2 + ω) = −σφω

Κανόνας: για π ± ω, 2π − ω ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει· για π2 ± ω, 3π2 ± ω γίνεται ο «συμπληρωματικός» (ημ ↔ συν, εφ ↔ σφ). Το πρόσημο είναι αυτό του αρχικού αριθμού στο τεταρτημόριο της γωνίας, θεωρώντας την ω οξεία.

3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση f με πεδίο A λέγεται περιοδική όταν υπάρχει T > 0 ώστε για κάθε x ∈ A να ισχύει x + T, x − T ∈ A και f(x + T) = f(x − T) = f(x). Ο μικρότερος τέτοιος T λέγεται περίοδος.

Η f(x) = ρ ημ(ωx), με ρ, ω > 0, έχει μέγιστη τιμή ρ, ελάχιστη −ρ και περίοδο T = 2πω. Το ίδιο ισχύει για την ρ συν(ωx).

3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις

Αν |α| > 1 η εξίσωση είναι αδύνατη. Αν |α| ≤ 1, βρίσκουμε γωνία θ με ημθ = α και:

ημx = ημθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + (π − θ), κ ∈ ℤ.

συνx = συνθ ⇔ x = 2κπ + θ ή x = 2κπ − θ, κ ∈ ℤ.

εφx = εφθ ⇔ x = κπ + θ, κ ∈ ℤ (και ανάλογα σφx = σφθ ⇔ x = κπ + θ).

ημx = 0 ⇔ x = κπ ημx = 1 ⇔ x = 2κπ + π2 ημx = −1 ⇔ x = 2κπ − π2

συνx = 0 ⇔ x = κπ + π2 συνx = 1 ⇔ x = 2κπ συνx = −1 ⇔ x = 2κπ + π

3.6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών

ημ(α ± β) = ημα συνβ ± συνα ημβ συν(α ± β) = συνα συνβ ∓ ημα ημβ

εφ(α ± β) = εφα ± εφβ1 ∓ εφα εφβ

3.7 Τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας 2α

ημ2α = 2ημα συνα συν2α = συν²α − ημ²α = 2συν²α − 1 = 1 − 2ημ²α εφ2α = 2εφα1 − εφ²α

3.8 Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων

ημα + ημβ = 2ημα + β2συνα − β2 συνα + συνβ = 2συνα + β2συνα − β2

3.9 Η συνάρτηση f(x) = αημx + βσυνx

αημx + βσυνx = ρημ(x + φ), ρ = √α² + β²

3.10 Επίλυση τριγώνου

αημΑ = βημΒ = γημΓ = 2R α² = β² + γ² − 2βγ συνΑ E = 12βγ ημΑ

4. Πολυώνυμα – Πολυωνυμικές εξισώσεις

4.1 Πολυώνυμα

Μονώνυμο του x: παράσταση αx^ν, ν ∈ ℕ. Πολυώνυμο του x: άθροισμα μονωνύμων, P(x) = α_νx^ν + α_ν−1x^ν−1 + … + α₁x + α₀.

Βαθμός μη μηδενικού πολυωνύμου: ο μεγαλύτερος εκθέτης ν με α_ν ≠ 0. Ένα σταθερό μη μηδενικό πολυώνυμο έχει βαθμό 0.

Δύο πολυώνυμα είναι ίσα όταν έχουν ίσους τους συντελεστές των ομοβάθμιων όρων τους.

Αριθμητική τιμή του P για x = ρ: ο αριθμός P(ρ). Αν P(ρ) = 0, ο ρ λέγεται ρίζα του P.

Άθροισμα συντελεστών: P(1) Σταθερός όρος: P(0)

βαθμός(P · Q) = βαθμός P + βαθμός Q (P, Q μη μηδενικά)

4.2 Διαίρεση πολυωνύμων

Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) ≠ 0, υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) ώστε Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x), όπου υ(x) είναι το μηδενικό πολυώνυμο ή έχει βαθμό μικρότερο από τον βαθμό του δ(x).

Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου P(x) με το x − ρ είναι ίσο με την τιμή του για x = ρ, δηλαδή υ = P(ρ).

Ένα πολυώνυμο P(x) έχει παράγοντα το x − ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του P(x), δηλαδή P(ρ) = 0.

4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν: P(x) = 0, όπου P πολυώνυμο βαθμού ν. Οι λύσεις της είναι οι ρίζες του P. Μια πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν έχει το πολύ ν ρίζες.

Θεώρημα ακέραιων ριζών. Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α_νx^ν + … + α₁x + α₀ = 0 με ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ ≠ 0 είναι ρίζα της, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α₀.

4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Άρρητη είναι η εξίσωση στην οποία ο άγνωστος βρίσκεται κάτω από ρίζα. Περιορισμοί: υπόρριζα ≥ 0 και, αν η ρίζα ισούται με παράσταση, η παράσταση ≥ 0.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g²(x) και g(x) ≥ 0

5. Εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση

5.1 Εκθετική συνάρτηση

α^xα^y = α^x+y α^xα^y = α^x−y (α^x)^y = α^xy (αβ)^x = α^xβ^x (αβ)^x = α^xβ^x

Εκθετική λέγεται η f(x) = α^x, με 0 < α ≠ 1. Έχει πεδίο ορισμού ℝ και σύνολο τιμών (0, +∞)· διέρχεται από το (0, 1).

α^x₁ = α^x₂ ⇔ x₁ = x₂

α > 1: α^x₁ < α^x₂ ⇔ x₁ < x₂ 0 < α < 1: α^x₁ < α^x₂ ⇔ x₁ > x₂

Ανατοκισμός: K_ν = K₀(1 + ε)^ν Συνεχής ανατοκισμός/εκθετική μεταβολή: Q(t) = Q₀e^ct

5.2 Λογάριθμοι

Αν α > 0, α ≠ 1 και θ > 0, λογάριθμος του θ με βάση α, log_αθ, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε το α για να βρούμε θ:

log_αθ = x ⇔ α^x = θ

log_αα^x = x α^log_αθ = θ log_α1 = 0 log_αα = 1

Αν α > 0, α ≠ 1, θ₁, θ₂, θ > 0 και κ ∈ ℝ, τότε: log_α(θ₁θ₂) = log_αθ₁ + log_αθ₂, log_αθ₁θ₂ = log_αθ₁ − log_αθ₂, log_αθ^κ = κ log_αθ.

log_α^ν√θ = 1νlog_αθ

Δεκαδικός λογάριθμος: log θ = log₁₀θ. Φυσικός (νεπέριος) λογάριθμος: ln θ = log_eθ.

log 10^x = x 10^{log θ} = θ ln e^x = x e^{ln θ} = θ

Αλλαγή βάσης: log_αθ = log_βθlog_βα (α, β > 0, ≠ 1, θ > 0). Ειδικά log θ = ln θln 10, ln θ = log θlog e.

5.3 Λογαριθμική συνάρτηση

Η f(x) = log_αx, 0 < α ≠ 1, έχει πεδίο ορισμού (0, +∞) και σύνολο τιμών ℝ· διέρχεται από το (1, 0). Είναι η αντίστροφη της α^x: οι γραφικές παραστάσεις τους είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

log x₁ = log x₂ ⇔ x₁ = x₂ log x₁ < log x₂ ⇔ x₁ < x₂ (x₁, x₂ > 0)

ln x₁ = ln x₂ ⇔ x₁ = x₂ ln x₁ < ln x₂ ⇔ x₁ < x₂

Όλα τα μαθήματα: Άλγεβρα Β΄ Λυκείου →