Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.
Έστω A υποσύνολο του ℝ. Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το A λέγεται μια διαδικασία f με την οποία κάθε στοιχείο x ∈ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y = f(x).
Σύνολο τιμών της f: f(A) = {y : y = f(x) για κάποιο x ∈ A}.
Γραφική παράσταση της f: Cf = {M(x, y) : y = f(x), x ∈ A}.
logαx = y ⇔ αy = x αlogαx = x logααx = x ln ex = x eln x = x
Η f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Δ με x1 < x2 ισχύει f(x1) < f(x2).
Η f λέγεται γνησίως φθίνουσα στο Δ όταν για x1 < x2 στο Δ ισχύει f(x1) > f(x2).
Η f με πεδίο A παρουσιάζει στο x0 ∈ A (ολικό) μέγιστο το f(x0) όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A, και (ολικό) ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x ∈ A.
Η f: A → ℝ λέγεται 1–1 όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ A ισχύει: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2).
Ισοδύναμα: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι 1–1.
Αν f: A → ℝ είναι 1–1, ορίζεται η αντίστροφη f−1: f(A) → ℝ με f−1(y) = x ⇔ f(x) = y. Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f και σύνολο τιμών το A.
f−1(f(x)) = x, x ∈ A f(f−1(y)) = y, y ∈ f(A)
Οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cf−1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x (διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των αξόνων).
Γράφουμε limx→x0 f(x) = ℓ και λέμε ότι η f έχει όριο στο x0 τον αριθμό ℓ, όταν οι τιμές f(x) προσεγγίζουν όσο θέλουμε το ℓ, για τα x που είναι αρκετά κοντά στο x0 (με x ≠ x0).
Αν το όριο υπάρχει, είναι μοναδικό.
limx→x0− f(x) = ℓ1: όριο από αριστερά (x < x0)· limx→x0+ f(x) = ℓ2: όριο από δεξιά (x > x0).
Αν η f ορίζεται σε (α, x0) ∪ (x0, β), τότε: limx→x0 f(x) = ℓ ⇔ limx→x0− f(x) = limx→x0+ f(x) = ℓ.
Για πολυώνυμο P: limx→x0 P(x) = P(x0). Για ρητή PQ με Q(x0) ≠ 0: limx→x0P(x)Q(x) = P(x0)Q(x0).
Έστω f, g, h τέτοιες ώστε h(x) ≤ f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0. Αν limx→x0 h(x) = limx→x0 g(x) = ℓ, τότε limx→x0 f(x) = ℓ.
|ημx| ≤ |x| για κάθε x ∈ ℝ (ισότητα μόνο για x = 0)
limx→x0 ημx = ημx0 limx→x0 συνx = συνx0
limx→0ημxx = 1 limx→0συνx − 1x = 0
Για το limx→x0 f(g(x)): θέτουμε u = g(x), βρίσκουμε u0 = limx→x0 g(x) (αν υπάρχει) και ℓ = limu→u0 f(u). Αν g(x) ≠ u0 κοντά στο x0, τότε limx→x0 f(g(x)) = ℓ.
limx→+∞ f(x) = ℓ όταν οι τιμές f(x) πλησιάζουν όσο θέλουμε το ℓ για x αρκετά μεγάλα (η f ορίζεται σε διάστημα (α, +∞)). Ανάλογα στο −∞ και για άπειρα όρια.
Ακολουθία είναι συνάρτηση α: ℕ* → ℝ, με αν = α(ν). lim αν = ℓ όταν οι όροι αν πλησιάζουν όσο θέλουμε το ℓ για ν αρκετά μεγάλα. Ισχύουν οι ίδιες ιδιότητες με το όριο στο +∞.
Μια συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της όταν limx→x0 f(x) = f(x0).
Συνεχής συνάρτηση λέγεται αυτή που είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.
Αν f, g συνεχείς στο x0, τότε συνεχείς στο x0 είναι και οι f + g, cf, fg, fg (g(x0) ≠ 0), |f|, ν√f. Αν f συνεχής στο x0 και g συνεχής στο f(x0), τότε η g ∘ f είναι συνεχής στο x0.
Η f είναι συνεχής σε ανοικτό διάστημα (α, β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του. Είναι συνεχής σε κλειστό [α, β] όταν είναι συνεχής στο (α, β) και limx→α+ f(x) = f(α), limx→β− f(x) = f(β).
Θεώρημα Bolzano. Έστω f ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) · f(β) < 0, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) ώστε f(x0) = 0.
Έστω f ορισμένη σε κλειστό διάστημα [α, β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] και f(α) ≠ f(β), τότε για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον x0 ∈ (α, β) τέτοιος ώστε f(x0) = η.
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α, β], τότε η f παίρνει στο [α, β] μια μέγιστη τιμή M και μια ελάχιστη τιμή m: υπάρχουν x1, x2 ∈ [α, β] με m = f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) = M για κάθε x ∈ [α, β].
f γνησίως αύξουσα και συνεχής: f([α, β]) = [f(α), f(β)], f((α, β)) = (limx→α+ f(x), limx→β− f(x))
f γνησίως φθίνουσα και συνεχής: f([α, β]) = [f(β), f(α)], f((α, β)) = (limx→β− f(x), limx→α+ f(x))
Μια συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο limx→x0f(x) − f(x0)x − x0 και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο λέγεται παράγωγος της f στο x0, f′(x0).
Η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της A (ή σε υποσύνολο B) όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του. Σε ανοικτό (α, β) όταν είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του· σε κλειστό [α, β] όταν επιπλέον υπάρχουν πεπερασμένα τα limx→α+f(x) − f(α)x − α και limx→β−f(x) − f(β)x − β.
Παράγωγος συνάρτηση (πρώτη παράγωγος) f′: x ↦ f′(x), ορισμένη στο σύνολο A1 των σημείων όπου η f είναι παραγωγίσιμη.
Η σταθερή συνάρτηση f(x) = c έχει f′(x) = 0.
Η f(x) = x έχει f′(x) = 1.
Η f(x) = xν, ν ∈ ℕ − {0, 1}, έχει f′(x) = νxν−1.
Η f(x) = √x είναι παραγωγίσιμη στο (0, +∞) με f′(x) = 12√x.
Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με y = f(x) και η f είναι παραγωγίσιμη στο x0, ο ρυθμός μεταβολής του y ως προς x στο x0 είναι η παράγωγος f′(x0).
Θεώρημα Rolle. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό (α, β) και f(α) = f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = 0.
Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ (α, β) τέτοιο ώστε f′(ξ) = f(β) − f(α)β − α.
Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ. Αν f′(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το Δ.
Έστω f, g συνεχείς σε διάστημα Δ με f′(x) = g′(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Τότε υπάρχει σταθερά c ώστε f(x) = g(x) + c για κάθε x ∈ Δ.
Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ. Αν f′(x) > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ. Αν f′(x) < 0, είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.
Η f με πεδίο A παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x0 ∈ A όταν υπάρχει δ > 0 ώστε f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A ∩ (x0 − δ, x0 + δ). Ανάλογα το τοπικό ελάχιστο (f(x) ≥ f(x0)).
Θεώρημα Fermat. Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ και x0εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε f′(x0) = 0.
Κρίσιμα σημεία: τα εσωτερικά σημεία του Δ όπου η f′ μηδενίζεται ή δεν υπάρχει. Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων είναι τα κρίσιμα σημεία και τα άκρα του Δ (όπου ανήκουν στο πεδίο).
Έστω f παραγωγίσιμη σε (α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0, στο οποίο όμως είναι συνεχής. Αν f′(x) > 0 στο (α, x0) και f′(x) < 0 στο (x0, β), τότε το f(x0) είναι τοπικό μέγιστο. Αν f′(x) < 0 στο (α, x0) και f′(x) > 0 στο (x0, β), είναι τοπικό ελάχιστο. Αν η f′ διατηρεί πρόσημο στο (α, x0) ∪ (x0, β), δεν υπάρχει ακρότατο στο x0 και η f είναι γνησίως μονότονη στο (α, β).
Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Η f λέγεται κυρτή (στρέφει τα κοίλα άνω) στο Δ όταν η f′ είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ, και κοίλη (στρέφει τα κοίλα κάτω) όταν η f′ είναι γνησίως φθίνουσα.
Έστω f συνεχής σε διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του. Αν f″(x) > 0 για κάθε εσωτερικό x, η f είναι κυρτή στο Δ. Αν f″(x) < 0, η f είναι κοίλη στο Δ.
Έστω f παραγωγίσιμη σε (α, β) με εξαίρεση ίσως ένα σημείο x0 στο οποίο είναι συνεχής. Αν η f είναι κυρτή στο (α, x0) και κοίλη στο (x0, β) (ή αντίστροφα) και η Cf έχει εφαπτομένη στο A(x0, f(x0)), τότε το A λέγεται σημείο καμπής.
Αν το A(x0, f(x0)) είναι σημείο καμπής της Cf και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο x0, τότε f″(x0) = 0.
Η ευθεία x = x0 λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της Cf αν ένα τουλάχιστον από τα limx→x0+ f(x), limx→x0− f(x) είναι +∞ ή −∞.
Η ευθεία y = ℓ λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της Cf στο +∞ (αντίστοιχα στο −∞) αν limx→+∞ f(x) = ℓ (αντίστοιχα limx→−∞ f(x) = ℓ).
Η ευθεία y = λx + β λέγεται ασύμπτωτη (πλάγια αν λ ≠ 0) της Cf στο +∞ αν limx→+∞ [f(x) − (λx + β)] = 0. Ανάλογα στο −∞.
Η y = λx + β είναι ασύμπτωτη της Cf στο +∞ αν και μόνο αν limx→+∞f(x)x = λ ∈ ℝ και limx→+∞ [f(x) − λx] = β ∈ ℝ. Ανάλογα στο −∞.
(Μορφή 00) Αν limx→x0 f(x) = 0, limx→x0 g(x) = 0, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞, +∞}, και υπάρχει το limx→x0f′(x)g′(x) (πεπερασμένο ή άπειρο), τότε limx→x0f(x)g(x) = limx→x0f′(x)g′(x).
(Μορφή +∞+∞) Αν limx→x0 f(x) = ±∞, limx→x0 g(x) = ±∞ και υπάρχει το lim f′(x)g′(x), τότε lim f(x)g(x) = lim f′(x)g′(x).
limx→+∞ln xx = 0 limx→+∞exxν = +∞ limx→0+ x ln x = 0
Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση (ή παράγουσα) της f στο Δ λέγεται κάθε συνάρτηση F παραγωγίσιμη στο Δ με F′(x) = f(x) για κάθε x ∈ Δ.
Έστω f ορισμένη σε διάστημα Δ. Αν F είναι μια αρχική της f στο Δ, τότε όλες οι συναρτήσεις G(x) = F(x) + c, c ∈ ℝ, είναι αρχικές της f στο Δ, και κάθε άλλη αρχική G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c.
Χωρίζουμε το [α, β] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα πλάτους Δx = β − αν με σημεία x0 = α < x1 < … < xν = β και διαλέγουμε ξκ ∈ [xκ−1, xκ]. Το άθροισμα Sν = f(ξ1)Δx + … + f(ξν)Δx λέγεται άθροισμα Riemann.
Για συνεχή f στο [α, β], το όριο limν→∞ Sν υπάρχει στο ℝ και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των ξκ. Λέγεται ορισμένο ολοκλήρωμα της f από το α στο β: ∫αβ f(x)dx.
Αν f ≥ 0 στο [α, β], τότε ∫αβ f(x)dx ≥ 0, και ισούται με το εμβαδόν E(Ω).
Αν f είναι συνεχής συνάρτηση σε διάστημα Δ και α ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F(x) = ∫αx f(t)dt, x ∈ Δ, είναι μια αρχική της f στο Δ, δηλαδή (∫αx f(t)dt)′ = f(x) για κάθε x ∈ Δ.
(∫αg(x) f(t)dt)′ = f(g(x)) · g′(x) (όταν ορίζεται η σύνθεση)
Έστω f συνεχής συνάρτηση σε διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια αρχική της f στο [α, β], τότε ∫αβ f(t)dt = G(β) − G(α).
Αν f συνεχής στο [α, β] και f(x) ≥ 0, το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη Cf, τον x′x και τις x = α, x = β είναι E(Ω) = ∫αβ f(x)dx.
Αν f(x) ≤ 0 στο [α, β], τότε E(Ω) = −∫αβ f(x)dx.
Αν f, g συνεχείς στο [α, β] και f(x) ≥ g(x) για κάθε x ∈ [α, β], το εμβαδόν του χωρίου μεταξύ των Cf, Cg και των x = α, x = β είναι E(Ω) = ∫αβ (f(x) − g(x))dx.
