Τυπολόγιο: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Άλγεβρα Α΄ Λυκείου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Εισαγωγικό κεφάλαιο

Ε.1 Το λεξιλόγιο της Λογικής

Άρνηση: η άρνηση του «P και Q» είναι «όχι P ή όχι Q»· η άρνηση του «P ή Q» είναι «όχι P και όχι Q».

Ε.2 Σύνολα

Σύνολο είναι συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων. A ⊆ B όταν κάθε στοιχείο του A ανήκει στο B. Το κενό σύνολο ∅ είναι υποσύνολο κάθε συνόλου.

A ∪ B: x ∈ A ή x ∈ B A ∩ B: x ∈ A και x ∈ B A′: x ∈ Ω και x ∉ A

N(A ∪ B) = N(A) + N(B) − N(A ∩ B)

Ένα σύνολο με ν στοιχεία έχει 2^ν υποσύνολα

2. Πιθανότητες

1.1 Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα

Δειγματικός χώρος Ω: το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης. Ενδεχόμενο: κάθε υποσύνολο του Ω.

1.2 Έννοια της πιθανότητας

Κλασικός ορισμός (ισοπίθανα): P(A) = N(A)N(Ω)

P(∅) = 0 P(Ω) = 1 0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A′) = 1 − P(A)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)

3. Οι πραγματικοί αριθμοί

2.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους

(α + β)² = α² + 2αβ + β² (α − β)² = α² − 2αβ + β²

α² − β² = (α − β)(α + β)

(α ± β)³ = α³ ± 3α²β + 3αβ² ± β³

α³ ± β³ = (α ± β)(α² ∓ αβ + β²)

α^−ν = 1α^ν α^μα^ν = α^μ+ν (α^μ)^ν = α^μν

Τεχνική: αν ξέρουμε S = x + y και P = xy, τότε x² + y² = S² − 2P και x³ + y³ = S³ − 3PS.

2.2 Διάταξη πραγματικών αριθμών

α > β ⇔ α − β > 0

α > β ⇒ α + γ > β + γ α > β, γ > 0 ⇒ αγ > βγ α > β, γ < 0 ⇒ αγ < βγ

α > β και γ > δ ⇒ α + γ > β + δ

2.3 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού

|α| = α αν α ≥ 0, |α| = −α αν α < 0

|α| = |−α| ≥ 0 |αβ| = |α||β| |αβ| = ∣α∣∣β∣ |α|² = α²

|α + β| ≤ |α| + |β| (τριγωνική ανισότητα)

|α − β| = απόσταση των α, β στον άξονα

|x| = θ (θ > 0) ⇔ x = ±θ |x| = |α| ⇔ x = ±α

|x − x₀| < ρ ⇔ x₀ − ρ < x < x₀ + ρ

|x − x₀| > ρ ⇔ x < x₀ − ρ ή x > x₀ + ρ

2.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών

Για α ≥ 0, √α (ν-οστή ρίζα ^ν√α) είναι ο μη αρνητικός αριθμός που υψωμένος στη ν δίνει α.

√α² = |α| ^ν√α^ν = α (α ≥ 0)

^ν√α · ^ν√β = ^ν√αβ ^ν√αβ = ^ν√α^ν√β

α^μν = ^ν√α^μ (α > 0)

Ρητοποίηση: 1√α − √β = √α + √βα − β (πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση).

4. Εξισώσεις

3.1 Εξισώσεις 1ου βαθμού

αx = β: α ≠ 0 → x = βα α = 0, β ≠ 0 → αδύνατη α = β = 0 → ταυτότητα

3.2 Η εξίσωση xν = α

α > 0: αν ν περιττός, x = ^ν√α· αν ν άρτιος, x = ±^ν√α.

α < 0: αν ν περιττός, x = −^ν√|α|· αν ν άρτιος, είναι αδύνατη.

3.3 Εξισώσεις 2ου βαθμού

αx² + βx + γ = 0, α ≠ 0 Δ = β² − 4αγ

Δ > 0: x_1,2 = −β ± √Δ2α Δ = 0: x = −β2α (διπλή) Δ < 0: αδύνατη στο ℝ

Τύποι Vieta: S = x₁ + x₂ = −βα, P = x₁x₂ = γα

Εξίσωση με ρίζες ρ₁, ρ₂: x² − Sx + P = 0

5. Ανισώσεις

4.2 Ανισώσεις 2ου βαθμού

Πρόσημο τριωνύμου αx² + βx + γ:

αx² + βx + γ = α(x − x₁)(x − x₂) (Δ ≥ 0)

Τριώνυμο θετικό για κάθε x ⇔ α > 0 και Δ < 0.

4.3 Ανισώσεις γινόμενο και ανισώσεις πηλίκο

f(x)g(x) > 0 ⇔ f(x) · g(x) > 0

6. Πρόοδοι

5.1 Ακολουθίες

Ακολουθία είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών 1, 2, 3, … σε πραγματικούς: α₁, α₂, α₃, … ο α_ν λέγεται ν-οστός (γενικός) όρος.

5.2 Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος: κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο προσθέτοντας τον ίδιο αριθμό ω (διαφορά).

α_ν+1 = α_ν + ω α_ν = α₁ + (ν − 1)ω

Αριθμητικός μέσος: α, β, γ διαδοχικοί όροι ⇔ 2β = α + γ

S_ν = ν2(α₁ + α_ν) = ν2[2α₁ + (ν − 1)ω]

5.3 Γεωμετρική πρόοδος

Γεωμετρική πρόοδος: κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενο πολλαπλασιάζοντας με τον ίδιο αριθμό λ ≠ 0 (λόγος).

α_ν+1 = α_ν · λ α_ν = α₁ · λ^ν−1

Γεωμετρικός μέσος: α, β, γ διαδοχικοί όροι ⇔ β² = αγ

S_ν = α₁λ^ν − 1λ − 1 (λ ≠ 1) S_ν = να₁ (λ = 1)

5.4 Ανατοκισμός – Ίσες καταθέσεις

Ανατοκισμός: ο τόκος κάθε περιόδου προστίθεται στο κεφάλαιο. Με αρχικό κεφάλαιο α και επιτόκιο ε ανά περίοδο, μετά από ν περιόδους:

α_ν = α(1 + ε)^ν

Ίσες καταθέσεις α στην αρχή κάθε περιόδου, ν περίοδοι: S = α(1 + ε)(1 + ε)^ν − 1ε

7. Βασικές έννοιες συναρτήσεων

6.1 Η έννοια της συνάρτησης

Συνάρτηση από ένα σύνολο A στο ℝ είναι μια διαδικασία που αντιστοιχίζει κάθε x ∈ A σε ένα μόνο y = f(x). Το A λέγεται πεδίο ορισμού.

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης

Η γραφική παράσταση C_f είναι το σύνολο των σημείων (x, f(x)) με x στο πεδίο ορισμού.

6.3 Η συνάρτηση f(x) = αx + β

Η γραφική παράσταση είναι ευθεία με κλίση α = εφω (ω η γωνία με τον x′x) και τεταγμένη επί την αρχή β.

Κλίση από δύο σημεία: α = y₂ − y₁x₂ − x₁

Παράλληλες: α₁ = α₂ Κάθετες: α₁ · α₂ = −1

6.4 Κατακόρυφη – οριζόντια μετατόπιση καμπύλης

y = f(x) + c: μετατόπιση κατακόρυφα κατά c (πάνω αν c > 0, κάτω αν c < 0)

y = f(x − c): μετατόπιση οριζόντια κατά c (δεξιά αν c > 0, αριστερά αν c < 0)

y = f(x − α) + β: οριζόντια κατά α και κατακόρυφα κατά β

6.5 Μονοτονία – Ακρότατα – Συμμετρίες συνάρτησης

f γνησίως αύξουσα σε Δ: για x₁ < x₂ ισχύει f(x₁) < f(x₂). Γνησίως φθίνουσα: f(x₁) > f(x₂).

f έχει ολικό μέγιστο στο x₀ όταν f(x) ≤ f(x₀) για κάθε x ∈ A· ολικό ελάχιστο όταν f(x) ≥ f(x₀).

Άρτια: f(−x) = f(x) για κάθε x ∈ A (συμμετρική ως προς y′y). Περιττή: f(−x) = −f(x) (συμμετρική ως προς την αρχή O).

Όλα τα μαθήματα: Άλγεβρα Α΄ Λυκείου →