Τυπολόγιο: Γεωμετρία Β΄ Λυκείου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Γεωμετρία Β΄ Λυκείου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Αναλογίες

7.1–7.3 Λόγος ευθύγραμμων τμημάτων

Λόγος δύο ευθύγραμμων τμημάτων AB και ΓΔ, ABΓΔ, είναι ο αριθμός λ για τον οποίο AB = λ · ΓΔ. Ισούται με το πηλίκο των μηκών τους όταν μετρηθούν με την ίδια μονάδα.

Δύο τμήματα λέγονται σύμμετρα όταν ο λόγος τους είναι ρητός αριθμός (έχουν κοινό μέτρο), και ασύμμετρα όταν είναι άρρητος.

Ένα σημείο M του τμήματος AB το διαιρεί σε λόγο λ όταν MAMB = λ.

MA = λλ + 1AB MB = 1λ + 1AB

7.4–7.5 Ανάλογα τμήματα – Αναλογίες

Τα τμήματα α, γ, ε, … λέγονται ανάλογα προς τα β, δ, ζ, … όταν αβ = γδ = εζ = … Η ισότητα δύο λόγων λέγεται αναλογία· ο κοινός λόγος λέγεται λόγος της αναλογίας.

αβ = γδ ⇔ αδ = βγ

αβ = γδ ⇔ αγ = βδ (εναλλαγή μέσων) αβ = γδ ⇔ βα = δγ

αβ = γδ ⇔ α ± ββ = γ ± δδ αβ = γδ ⇔ αα ± β = γγ ± δ

αβ = γδ = εζ = α + γ + εβ + δ + ζ

Τέταρτη ανάλογη τριών τμημάτων α, β, γ είναι το τμήμα x με αβ = γx. Μέση ανάλογη των α, β είναι το x με αx = xβ, δηλαδή x² = αβ (x = √αβ).

7.6 Διαίρεση τμήματος εσωτερικά και εξωτερικά σε δοσμένο λόγο

Για κάθε θετικό αριθμό λ υπάρχει μοναδικό σημείο M του τμήματος AB (εσωτερικό) τέτοιο ώστε MAMB = λ.

Για κάθε θετικό λ ≠ 1 υπάρχει μοναδικό σημείο M′ στην προέκταση του AB (εξωτερικό) τέτοιο ώστε M′AM′B = λ.

Αν AB = α: MA = λαλ + 1, M′A = λαλ − 1 (λ > 1)

7.7 Θεώρημα του Θαλή

Θεώρημα Θαλή. Αν τρεις ή περισσότερες παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα.

ε₁ ∥ ε₂ ∥ ε₃ ⇒ ABBΓ = A′B′B′Γ′ = AΓA′Γ′ … (τα τμήματα της μιας τέμνουσας ανάλογα των αντίστοιχων της άλλης)

Αντίστροφο: αν δύο ευθείες τέμνουν δύο παράλληλες ευθείες ε₁, ε₂ στα A, A′ και B, B′ και μια τρίτη ευθεία τις τέμνει στα Γ, Γ′ ώστε ABBΓ = A′B′B′Γ′, τότε η ΓΓ′ είναι παράλληλη στις ε₁, ε₂.

Κάθε παράλληλη προς μια πλευρά τριγώνου χωρίζει τις άλλες δύο πλευρές (ή τις προεκτάσεις τους) σε μέρη ανάλογα. Αν ΔE ∥ BΓ: AΔΔB = AEEΓ (και AΔAB = AEAΓ).

Αντίστροφα, αν μια ευθεία χωρίζει δύο πλευρές τριγώνου σε μέρη ανάλογα, τότε είναι παράλληλη προς την τρίτη πλευρά.

7.8–7.9 Θεωρήματα των διχοτόμων – Απολλώνιος κύκλος

Η διχοτόμος AΔ μιας γωνίας τριγώνου ABΓ διαιρεί εσωτερικά την απέναντι πλευρά σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών: ΔBΔΓ = ABAΓ = γβ.

ΔB = αγβ + γ ΔΓ = αββ + γ

Αντίστροφο: αν σημείο Δ της πλευράς BΓ ικανοποιεί ΔBΔΓ = ABAΓ, τότε η AΔ είναι διχοτόμος της Â.

Η εξωτερική διχοτόμος AE της γωνίας Â τριγώνου ABΓ (με β ≠ γ) διαιρεί εξωτερικά την πλευρά BΓ σε λόγο ίσο με τον λόγο των προσκείμενων πλευρών: EBEΓ = γβ.

EB = αγ∣β − γ∣ EΓ = αβ∣β − γ∣

Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων M του επιπέδου για τα οποία MAMB = λ (λ > 0, λ ≠ 1, A, B σταθερά) είναι κύκλος με διάμετρο το τμήμα ΓΔ, όπου Γ, Δ τα σημεία που διαιρούν το AB εσωτερικά και εξωτερικά σε λόγο λ (Απολλώνιος κύκλος).

2. Ομοιότητα

8.1 Όμοια ευθύγραμμα σχήματα

Δύο ευθύγραμμα σχήματα (πολύγωνα) με το ίδιο πλήθος πλευρών λέγονται όμοια όταν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες.

Ο λόγος των περιμέτρων δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητάς τους.

8.2 Κριτήρια ομοιότητας τριγώνων

1ο κριτήριο. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο γωνίες ίσες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

2ο κριτήριο. Αν δύο τρίγωνα έχουν δύο πλευρές ανάλογες μία προς μία και τις περιεχόμενες σε αυτές γωνίες ίσες, τότε είναι όμοια.

3ο κριτήριο. Αν δύο τρίγωνα έχουν τις πλευρές τους ανάλογες μία προς μία, τότε είναι όμοια.

Ο λόγος των υψών (διαμέσων, διχοτόμων) που αντιστοιχούν σε ομόλογες πλευρές δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με τον λόγο ομοιότητας.

Σε τρίγωνο ABΓ εγγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας R, με ύψος AΔ = υ_α: β · γ = 2R · υ_α.

3. Μετρικές σχέσεις

9.1 Ορθές προβολές

Ορθή προβολή ενός σημείου A σε μια ευθεία ε είναι το ίχνος A′ της κάθετης από το A στην ε (αν το A ανήκει στην ε, η προβολή του είναι το ίδιο).

Ορθή προβολή ενός ευθύγραμμου τμήματος AB στην ε είναι το τμήμα A′B′ με άκρα τις προβολές των άκρων του.

9.2–9.3 Πυθαγόρειο θεώρημα – Γεωμετρικές κατασκευές

Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης αυτής στην υποτείνουσα: AB² = BΓ · BΔ και AΓ² = BΓ · ΓΔ.

Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το άθροισμα των τετραγώνων των κάθετων πλευρών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας: β² + γ² = α².

Αντίστροφο: αν σε τρίγωνο ABΓ ισχύει β² + γ² = α², τότε Â = 90°.

Το ύψος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα είναι μέση ανάλογη των προβολών των κάθετων πλευρών: AΔ² = BΔ · ΔΓ.

β² = α · ΔΓ γ² = α · BΔ υ² = BΔ · ΔΓ β · γ = α · υ 1υ² = 1β² + 1γ²

9.4 Γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, ελαττωμένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας από αυτές επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α² = β² + γ² − 2β · AΔ (Â < 90°).

Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου που βρίσκεται απέναντι από αμβλεία γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών, αυξημένο κατά το διπλάσιο γινόμενο της μιας επί την προβολή της άλλης πάνω σε αυτή: α² = β² + γ² + 2β · AΔ (Â > 90°).

Αν α η μεγαλύτερη πλευρά τριγώνου: α² < β² + γ² ⇔ το τρίγωνο είναι οξυγώνιο· α² = β² + γ² ⇔ ορθογώνιο· α² > β² + γ² ⇔ αμβλυγώνιο.

Σε κάθε τρίγωνο ABΓ ισχύει α² = β² + γ² − 2βγ συνA.

Â = 60°: α² = β² + γ² − βγ Â = 120°: α² = β² + γ² + βγ Â = 45°: α² = β² + γ² − βγ√2

9.5 Θεωρήματα διαμέσων

β² + γ² = 2μ_α² + α²2 β² − γ² = 2α · MΔ

9.7 Τέμνουσες κύκλου – Δύναμη σημείου

PA · PB = PΓ · PΔ = PE² Δ_P = OP² − R²

4. Εμβαδά

10.1–10.2 Πολυγωνικά χωρία – Εμβαδόν – Ισοδύναμα σχήματα

Πολυγωνικό χωρίο είναι ένα πολύγωνο μαζί με το εσωτερικό του. Το εμβαδόν του είναι ένας θετικός αριθμός που ικανοποιεί:

Ισοδύναμα (ισεμβαδικά) λέγονται δύο σχήματα με ίσα εμβαδά· δεν είναι απαραίτητα ίσα.

10.3 Εμβαδόν βασικών ευθύγραμμων σχημάτων

Το εμβαδόν τετραγώνου πλευράς α είναι E = α².

Το εμβαδόν ορθογωνίου με πλευρές α, β είναι E = αβ.

Το εμβαδόν παραλληλογράμμου είναι ίσο με το γινόμενο μιας πλευράς του επί το ύψος που αντιστοιχεί σε αυτή: E = β · υ.

Το εμβαδόν τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου μιας πλευράς επί το αντίστοιχο ύψος: E = 12α · υ_α.

E = 12αυ_α = 12βυ_β = 12γυ_γ ορθογώνιο τρίγωνο: E = 12βγ

Το εμβαδόν τραπεζίου είναι ίσο με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεων επί το ύψος: E = B + β2 · υ = δ · υ, όπου δ η διάμεσος.

E = δ₁ · δ₂2

10.4 Άλλοι τύποι για το εμβαδόν τριγώνου

Το εμβαδόν τριγώνου με πλευρές α, β, γ και ημιπερίμετρο τ = α + β + γ2 είναι E = √τ(τ − α)(τ − β)(τ − γ).

E = τ · ρ, όπου ρ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.

E = αβγ4R, όπου R η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

E = 12βγ ημA = 12γα ημB = 12αβ ημΓ.

10.5–10.6 Λόγος εμβαδών – Μετασχηματισμός πολυγώνου

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων τριγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους: E′E = λ².

Ο λόγος των εμβαδών δύο όμοιων πολυγώνων είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους.

Αν δύο τρίγωνα έχουν μια γωνία ίση (ή παραπληρωματική), ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με τον λόγο των γινομένων των πλευρών που περιέχουν τη γωνία: E′E = β′γ′βγ.

5. Μέτρηση κύκλου

11.1–11.2 Κανονικά πολύγωνα – Ιδιότητες και στοιχεία

Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό όταν έχει όλες τις πλευρές του ίσες και όλες τις γωνίες του ίσες.

Κάθε κανονικό πολύγωνο εγγράφεται σε κύκλο (περιγεγραμμένος) και περιγράφεται σε κύκλο (εγγεγραμμένος), που έχουν το ίδιο κέντρο, το κέντρο του πολυγώνου.

ω_ν = 360°ν φ_ν = 180° − ω_ν = 180° − 360°ν (γωνία του κανονικού ν-γώνου)

Σε κανονικό ν-γωνο με πλευρά λ_ν, ακτίνα R και απόστημα α_ν ισχύουν: λ_ν²/4 + α_ν² = R², P_ν = νλ_ν και E_ν = 12P_να_ν.

11.3 Εγγραφή βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο

Τετράγωνο: λ₄ = R√2, α₄ = R√22 Εξάγωνο: λ₆ = R, α₆ = R√32 Ισόπλευρο τρίγωνο: λ₃ = R√3, α₃ = R2

11.4–11.5 Μήκος κύκλου – Μήκος τόξου

Ο λόγος του μήκους L ενός κύκλου προς τη διάμετρό του είναι σταθερός (ίδιος για όλους τους κύκλους) και συμβολίζεται π: L2R = π.

L = 2πR

Το μήκος ℓ ενός τόξου μ° κύκλου ακτίνας R είναι ℓ = πRμ180.

Ακτίνιο (rad) είναι το τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ένα τόξο α rad έχει μήκος ℓ = αR.

μ180 = απ π rad = 180°

11.6–11.8 Εμβαδόν κύκλου – Κυκλικός τομέας και τμήμα – Τετραγωνισμός

Το εμβαδόν κυκλικού δίσκου ακτίνας R είναι E = πR².

Κυκλικός τομέας είναι το μέρος του κυκλικού δίσκου που περικλείεται από ένα τόξο και τις ακτίνες στα άκρα του.

Το εμβαδόν κυκλικού τομέα μ° (ή α rad) είναι E = πR²μ360 = 12αR².

Κυκλικό τμήμα είναι το μέρος του δίσκου ανάμεσα σε μια χορδή AB και το αντίστοιχο τόξο.

E_{τμήματος} = E_{τομέα OAB} − (OAB) (για τόξο μικρότερο από ημικύκλιο)

(OAB) = 12R²ημω (ω η επίκεντρη γωνία)