Τυπολόγιο: Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Αλγεβρικές παραστάσεις

1.1Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

α + β = β + α αβ = βα (αντιμεταθετική)

(α + β) + γ = α + (β + γ) (αβ)γ = α(βγ) (προσεταιριστική)

α(β + γ) = αβ + αγ (επιμεριστική)

Κανόνας προσήμων: ομόσημοι δίνουν θετικό γινόμενο/πηλίκο, ετερόσημοι αρνητικό.

1.1Β Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

α^ν = α · α · … · α (ν παράγοντες) α¹ = α α⁰ = 1 (α ≠ 0)

α^−ν = 1α^ν (α ≠ 0)

α^μ · α^ν = α^μ+ν α^μ : α^ν = α^μ−ν

(α^μ)^ν = α^μν (αβ)^ν = α^νβ^ν (αβ)^ν = α^νβ^ν

1.1Γ Τετραγωνική ρίζα πραγματικού αριθμού

Για α ≥ 0, √α είναι ο μη αρνητικός αριθμός που το τετράγωνό του είναι α.

√α² = |α| (√α)² = α (α ≥ 0)

√αβ = √α√β √αβ = √α√β (α, β ≥ 0, β ≠ 0)

Ρητοποίηση παρονομαστή: α√β = α√ββ.

1.2Α Αλγεβρικές παραστάσεις – Μονώνυμα

Μονώνυμο είναι αλγεβρική παράσταση που είναι γινόμενο αριθμού και μεταβλητών με εκθέτες φυσικούς, π.χ. −3x²y.

Όμοια μονώνυμα έχουν το ίδιο κύριο μέρος. Ίσα: όμοια με ίσους συντελεστές. Αντίθετα: όμοια με αντίθετους συντελεστές.

1.2Β Πράξεις με μονώνυμα

Πρόσθεση ομοίων: αx^κ + βx^κ = (α + β)x^κ

1.3 Πολυώνυμα – Πρόσθεση και αφαίρεση πολυωνύμων

Πολυώνυμο είναι άθροισμα μονωνύμων που δεν είναι όμοια· κάθε μονώνυμο λέγεται όρος. Βαθμός του πολυωνύμου είναι ο μεγαλύτερος από τους βαθμούς των όρων του.

1.4 Πολλαπλασιασμός πολυωνύμων

Πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του ενός πολυωνύμου με κάθε όρο του άλλου και κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

(α + β)(γ + δ) = αγ + αδ + βγ + βδ

1.5 Αξιοσημείωτες ταυτότητες

(α + β)² = α² + 2αβ + β²

(α − β)² = α² − 2αβ + β²

(α + β)(α − β) = α² − β²

(α + β)³ = α³ + 3α²β + 3αβ² + β³

(α − β)³ = α³ − 3α²β + 3αβ² − β³

α³ + β³ = (α + β)(α² − αβ + β²) α³ − β³ = (α − β)(α² + αβ + β²)

1.6 Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων

Τριώνυμο x² + (α + β)x + αβ = (x + α)(x + β): ψάχνουμε δύο αριθμούς με γινόμενο τον σταθερό όρο και άθροισμα τον συντελεστή του x.

1.7 Διαίρεση πολυωνύμων

Ταυτότητα της διαίρεσης: για Δ(x) : δ(x) υπάρχουν μοναδικά πηλίκο π(x) και υπόλοιπο υ(x) ώστε

Δ(x) = δ(x) · π(x) + υ(x)

1.8 Ε.Κ.Π. και Μ.Κ.Δ. ακεραίων αλγεβρικών παραστάσεων

ΕΚΠ: το γινόμενο όλων των παραγόντων (κοινών και μη κοινών), ο καθένας με τον μεγαλύτερο εκθέτη. Για τους αριθμούς παίρνουμε το ΕΚΠ τους.

ΜΚΔ: το γινόμενο μόνο των κοινών παραγόντων, ο καθένας με τον μικρότερο εκθέτη. Για τους αριθμούς παίρνουμε τον ΜΚΔ τους.

1.9 Ρητές αλγεβρικές παραστάσεις

Ρητή παράσταση είναι ένα κλάσμα με όρους πολυώνυμα, π.χ. x + 1x − 2. Ορίζεται μόνο για τις τιμές που δεν μηδενίζουν τον παρονομαστή.

α · γβ · γ = αβ (γ ≠ 0)

1.10Α Πολλαπλασιασμός – Διαίρεση ρητών παραστάσεων

αβ · γδ = αγβδ αβ : γδ = αβ · δγ

1.10Β Πρόσθεση – Αφαίρεση ρητών παραστάσεων

αγ + βγ = α + βγ

2. Εξισώσεις – Ανισώσεις

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0

Η εξίσωση αx = β: αν α ≠ 0 έχει μοναδική λύση x = βα· αν α = 0 και β ≠ 0 είναι αδύνατη· αν α = β = 0 είναι ταυτότητα (αόριστη).

2.2Α Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Αν ένα γινόμενο είναι μηδέν, τότε ένας τουλάχιστον παράγοντας είναι μηδέν: αβ = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0.

2.2Β Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με τη βοήθεια τύπου

Διακρίνουσα: Δ = β² − 4αγ

x = −β ± √Δ2α

Αν Δ > 0: δύο άνισες λύσεις. Αν Δ = 0: μία διπλή λύση x = −β2α. Αν Δ < 0: αδύνατη.

2.3 Προβλήματα εξισώσεων δευτέρου βαθμού

Ελέγχουμε τις λύσεις: απορρίπτουμε όσες δεν ταιριάζουν στο πρόβλημα (αρνητικό μήκος, μη ακέραιο πλήθος κ.λπ.).

2.4 Κλασματικές εξισώσεις

Κλασματική είναι η εξίσωση με τον άγνωστο σε παρονομαστή.

Στο τέλος απορρίπτουμε όσες λύσεις μηδενίζουν κάποιον παρονομαστή.

2.5Α-Β Διάταξη πραγματικών αριθμών – Ιδιότητες της διάταξης

α > β ⇔ α − β > 0

α > β ⇒ α + γ > β + γ

α > β και γ > 0 ⇒ αγ > βγ α > β και γ < 0 ⇒ αγ < βγ

α > β και γ > δ ⇒ α + γ > β + δ

2.5Γ Ανισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο

Διπλή ανίσωση α < x < β: λύνουμε τις δύο ανισώσεις και κρατάμε τις κοινές λύσεις.

3. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων

3.1 Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η εξίσωση αx + βy = γ (α, β όχι και οι δύο 0) λέγεται γραμμική. Λύση της είναι κάθε ζεύγος (x, y) που την επαληθεύει· έχει άπειρες λύσεις.

3.2 Η έννοια του γραμμικού συστήματος και η γραφική επίλυσή του

Οι ευθείες τέμνονται → μία λύση. Είναι παράλληλες → καμία λύση (αδύνατο). Ταυτίζονται → άπειρες λύσεις (αόριστο).

4. Συναρτήσεις

4.1 Η συνάρτηση y = αx² με α ≠ 0

Η γραφική παράσταση της y = αx² (α ≠ 0) είναι παραβολή με κορυφή την αρχή O(0, 0) και άξονα συμμετρίας τον y′y.

4.2 Η συνάρτηση y = αx² + βx + γ με α ≠ 0

Η γραφική της παράσταση είναι παραβολή με κορυφή στο σημείο με τετμημένη x = −β2α και άξονα συμμετρίας την κατακόρυφη ευθεία x = −β2α.

Κορυφή: x_κ = −β2α, y_κ = −Δ4α

5. Πιθανότητες

5.1 Σύνολα

Σύνολο είναι μια συλλογή διακεκριμένων αντικειμένων (στοιχείων). Γράφουμε x ∈ A όταν το x ανήκει στο A.

Ένωση: A ∪ B = στοιχεία που ανήκουν στο A ή στο B

Τομή: A ∩ B = στοιχεία που ανήκουν στο A και στο B

Συμπλήρωμα: A′ = στοιχεία του Ω που δεν ανήκουν στο A

5.2 Δειγματικός χώρος – Ενδεχόμενα

Πείραμα τύχης είναι ένα πείραμα που δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμά του. Δειγματικός χώρος Ω είναι το σύνολο όλων των δυνατών αποτελεσμάτων.

Ενδεχόμενο είναι κάθε υποσύνολο του Ω. Πραγματοποιείται όταν το αποτέλεσμα ανήκει σε αυτό.

Πλήθος αποτελεσμάτων διαδοχικών βημάτων: ν₁ · ν₂ · …

5.3 Έννοια της πιθανότητας

Όταν τα αποτελέσματα είναι ισοπίθανα, η πιθανότητα ενός ενδεχομένου A είναι:

P(A) = πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεωνπλήθος δυνατών περιπτώσεων = N(A)N(Ω)

0 ≤ P(A) ≤ 1 P(∅) = 0 P(Ω) = 1

P(A′) = 1 − P(A)

Ασυμβίβαστα: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Όλα τα μαθήματα: Άλγεβρα Γ΄ Γυμνασίου →