Τυπολόγιο: Άλγεβρα Α΄ Γυμνασίου

Όλοι οι τύποι και οι βασικοί κανόνες της ύλης Άλγεβρα Α΄ Γυμνασίου, μάθημα-μάθημα. Πάτα σε ένα μάθημα για όλη τη θεωρία του, με παραδείγματα και συχνά λάθη.

1. Φυσικοί αριθμοί

1.1 Φυσικοί αριθμοί – Διάταξη – Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση: κοιτάμε το ψηφίο δεξιά από τη θέση στρογγυλοποίησης· αν είναι 0–4 τα ψηφία δεξιά γίνονται 0, αν είναι 5–9 αυξάνουμε κατά 1 το ψηφίο της θέσης.

1.2 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

α + β = β + α (α + β) + γ = α + (β + γ) α + 0 = α

α · β = β · α (αβ)γ = α(βγ) α · 1 = α α · 0 = 0

α(β + γ) = αβ + αγ α(β − γ) = αβ − αγ

1.3 Δυνάμεις φυσικών αριθμών

α^ν = α · α · … · α (ν παράγοντες) α¹ = α α⁰ = 1

Προτεραιότητα πράξεων: 1) παρενθέσεις 2) δυνάμεις 3) πολλαπλασιασμοί και διαιρέσεις 4) προσθέσεις και αφαιρέσεις (από αριστερά προς τα δεξιά).

α^μ · α^ν = α^μ+ν

10^ν = 1 με ν μηδενικά

1.4 Ευκλείδεια διαίρεση – Διαιρετότητα

Για τους φυσικούς Δ (διαιρετέος) και δ ≠ 0 (διαιρέτης) υπάρχουν μοναδικοί φυσικοί π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο) ώστε:

Δ = δ · π + υ, με 0 ≤ υ < δ

1.5 Χαρακτήρες διαιρετότητας – Μ.Κ.Δ. – Ε.Κ.Π. – Ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Πρώτος είναι ο φυσικός > 1 που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, …

ΜΚΔ: το γινόμενο των κοινών πρώτων παραγόντων με τον μικρότερο εκθέτη. ΕΚΠ: όλοι οι πρώτοι παράγοντες με τον μεγαλύτερο εκθέτη.

ΜΚΔ(α, β) · ΕΚΠ(α, β) = α · β

2. Κλάσματα

2.1 Η έννοια του κλάσματος

Το κλάσμα κν σημαίνει ότι χωρίσαμε μια ποσότητα σε ν ίσα μέρη και πήραμε τα κ. Ο κ είναι ο αριθμητής, ο ν ο παρονομαστής (ν ≠ 0).

2.2 Ισοδύναμα κλάσματα

Δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα όταν παριστάνουν το ίδιο μέρος του όλου.

αβ = γδ ⇔ α · δ = β · γ (χιαστί γινόμενα)

2.4 Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

αγ + βγ = α + βγ αγ − βγ = α − βγ

2.5 Πολλαπλασιασμός κλασμάτων

αβ · γδ = α · γβ · δ

ν · αβ = ν · αβ

2.6 Διαίρεση κλασμάτων

αβ : γδ = αβ · δγ

Για να διαιρέσουμε με ένα κλάσμα, πολλαπλασιάζουμε με τον αντίστροφό του.

3. Δεκαδικοί αριθμοί

3.1 Δεκαδικά κλάσματα – Δεκαδικοί αριθμοί – Διάταξη – Στρογγυλοποίηση

Στρογγυλοποίηση: όπως στους φυσικούς, κοιτάμε το επόμενο ψηφίο δεξιά.

3.2 Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς – Δυνάμεις με βάση δεκαδικό αριθμό

× 10, 100, 1.000: η υποδιαστολή πάει 1, 2, 3 θέσεις δεξιά

: 10, 100, 1.000: η υποδιαστολή πάει 1, 2, 3 θέσεις αριστερά

3.3 Υπολογισμοί με τη βοήθεια υπολογιστή τσέπης

Εκτίμηση: πριν πατήσουμε τα πλήκτρα, στρογγυλοποιούμε για να ξέρουμε περίπου το αποτέλεσμα και να καταλάβουμε αν κάναμε λάθος.

3.4 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων αριθμών

Ένας μεγάλος αριθμός γράφεται στη μορφή α · 10^ν, όπου 1 ≤ α < 10 και ν φυσικός.

(α · 10^μ) · (β · 10^ν) = (α · β) · 10^μ+ν

3.5 Μονάδες μέτρησης

Μήκος: 1 km = 1.000 m 1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm

Μάζα: 1 t = 1.000 kg 1 kg = 1.000 g

Χρόνος: 1 h = 60 min 1 min = 60 s 1 h = 3.600 s

Ταχύτητα: 1 m/s = 3,6 km/h

4. Εξισώσεις – Προβλήματα

4.1 Η έννοια της εξίσωσης – Οι εξισώσεις α+x=β, x–α=β, α–x=β, αx=β, α:x=β και x:α=β

Εξίσωση είναι μια ισότητα με έναν άγνωστο (x). Λύση της είναι ο αριθμός που την επαληθεύει.

α + x = β ⇒ x = β − α x − α = β ⇒ x = β + α α − x = β ⇒ x = α − β

α · x = β ⇒ x = β : α x : α = β ⇒ x = β · α α : x = β ⇒ x = α : β

5. Ποσοστά

5.1 Ποσοστά

Το α% σημαίνει α100. Το α% μιας ποσότητας Π είναι α100 · Π.

Τι ποσοστό είναι το μέρος: μέροςόλο · 100%

5.2 Προβλήματα με ποσοστά

Αύξηση α%: νέα τιμή = αρχική · (1 + α100)

Μείωση α%: νέα τιμή = αρχική · (1 − α100)

6. Αναλογίες

6.1 Παράσταση σημείων στο επίπεδο

Κάθε σημείο έχει συντεταγμένες (x, y): πρώτα η τετμημένη (οριζόντια), μετά η τεταγμένη (κατακόρυφη).

6.2 Λόγος – Αναλογία

Λόγος του α προς το β είναι το πηλίκο αβ. Αναλογία είναι η ισότητα δύο λόγων.

αβ = γδ ⇔ αδ = βγ

6.3 Ανάλογα ποσά – Ιδιότητες αναλόγων ποσών

Δύο ποσά είναι ανάλογα όταν, αν πολλαπλασιαστεί το ένα με έναν αριθμό, πολλαπλασιάζεται και το άλλο με τον ίδιο αριθμό. Τότε ο λόγος yx είναι σταθερός.

yx = α ⇔ y = α · x

6.4 Γραφική παράσταση σχέσης αναλογίας

Τα σημεία (x, y) δύο ανάλογων ποσών βρίσκονται σε ευθεία που περνά από την αρχή O των αξόνων: y = α · x.

6.5 Προβλήματα αναλογιών

Πραγματικό μήκος = μήκος στον χάρτη · κλίμακα

6.6 Αντιστρόφως ανάλογα ποσά

Δύο ποσά είναι αντιστρόφως ανάλογα όταν, αν πολλαπλασιαστεί το ένα με έναν αριθμό, το άλλο διαιρείται με τον ίδιο αριθμό. Τότε το γινόμενό τους είναι σταθερό.

x · y = α ⇔ y = αx

7. Ρητοί αριθμοί

7.1 Θετικοί και αρνητικοί αριθμοί (ρητοί) – Η ευθεία των ρητών – Τετμημένη σημείου

Οι ρητοί αριθμοί είναι οι θετικοί, οι αρνητικοί και το 0. Τους παριστάνουμε στην ευθεία των αριθμών: θετικοί δεξιά, αρνητικοί αριστερά του 0.

Απόσταση δύο σημείων της ευθείας = μεγαλύτερη τετμημένη − μικρότερη

7.2 Απόλυτη τιμή ρητού – Αντίθετοι αριθμοί – Σύγκριση ρητών

Απόλυτη τιμή |α| είναι η απόσταση του α από το 0· είναι πάντα θετική ή μηδέν.

|α| = α αν α ≥ 0 |α| = −α αν α < 0

Από δύο αρνητικούς μεγαλύτερος είναι αυτός με τη μικρότερη απόλυτη τιμή: −2 > −7.

7.3 Πρόσθεση ρητών αριθμών

Ομόσημοι: προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές και κρατάμε το κοινό πρόσημο.

Ετερόσημοι: αφαιρούμε τη μικρότερη απόλυτη τιμή από τη μεγαλύτερη και κρατάμε το πρόσημο του αριθμού με τη μεγαλύτερη απόλυτη τιμή.

α + (−α) = 0

(αβ)^ν = α^νβ^ν

7.9 Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο

α^−ν = 1α^ν (α ≠ 0)

(αβ)^−ν = (βα)^ν

α^μ · α^ν = α^μ+ν α^μ : α^ν = α^μ−ν (α^μ)^ν = α^μ·ν

(α · β)^ν = α^ν · β^ν

7.10 Τυποποιημένη μορφή μεγάλων και μικρών αριθμών

Κάθε θετικός αριθμός γράφεται στη μορφή α · 10^ν με 1 ≤ α < 10 και ν ακέραιο.

(α · 10^μ) : (β · 10^ν) = (α : β) · 10^μ−ν

Όλα τα μαθήματα: Άλγεβρα Α΄ Γυμνασίου →