Τυπολόγιο: Γεωμετρία Α΄ Λυκείου

1.1–1.2 Εισαγωγή στην Ευκλείδεια Γεωμετρία

Από δύο σημεία διέρχεται μία μόνο ευθεία.

2.1–2.5 Σημείο, γραμμή, επίπεδο, ευθεία, ημιευθεία, ευθύγραμμο τμήμα

2.6–2.10 Μετατόπιση – Σύγκριση και πράξεις τμημάτων – Μήκος – Συμμετρία ως προς κέντρο

Μέσο M του AB: το σημείο του AB με MA = MB = AB2. Κάθε τμήμα έχει ένα μόνο μέσο.

Το συμμετρικό του A ως προς κέντρο O είναι το A′ με O μέσο του AA′.

2.11–2.16 Ημιεπίπεδα – Γωνία – Σύγκριση γωνιών – Κάθετη – Πράξεις και σχέσεις γωνιών

Δύο γωνίες είναι εφεξής όταν έχουν κοινή κορυφή και μια κοινή πλευρά και κανένα άλλο κοινό σημείο.

Κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες.

2.17–2.19 Κύκλος – Επίκεντρη γωνία – Μέτρο τόξου και γωνίας

Κύκλος (K, ρ): τα σημεία που απέχουν απόσταση ρ από το κέντρο K.

Επίκεντρη γωνία: με κορυφή το κέντρο. Το μέτρο ενός τόξου είναι το μέτρο της αντίστοιχης επίκεντρης γωνίας.

2.20 Τεθλασμένη γραμμή – Πολύγωνο

Πολύγωνο: κλειστή τεθλασμένη γραμμή μαζί με το εσωτερικό της. Κυρτό όταν κάθε ευθεία μιας πλευράς αφήνει όλο το πολύγωνο από τη μία μεριά.

3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων

Κάθε τρίγωνο έχει τρεις διαμέσους, τρεις διχοτόμους και τρία ύψη.

3.2–3.4 Κριτήρια ισότητας τριγώνων

Π–Γ–Π: δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ίσες.

Γ–Π–Γ: μια πλευρά και οι προσκείμενες γωνίες ίσες.

Π–Π–Π: τρεις πλευρές ίσες.

Οι γωνίες της βάσης είναι ίσες· η διχοτόμος της γωνίας της κορυφής είναι διάμεσος και ύψος.

3.5–3.6 Ύπαρξη και μοναδικότητα καθέτου – Κριτήρια ορθογώνιων τριγώνων

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία μόνο κάθετη προς αυτή.

Δύο ορθογώνια τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν:

3.7 Κύκλος – Μεσοκάθετος – Διχοτόμος

Κάθε σημείο της μεσοκαθέτου ενός τμήματος ισαπέχει από τα άκρα του και αντίστροφα.

Κάθε σημείο της διχοτόμου μιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της και αντίστροφα (για σημεία στο εσωτερικό της).

3.8–3.9 Κεντρική και αξονική συμμετρία

Σε κάθε συμμετρία τα συμμετρικά σχήματα είναι ίσα.

3.10–3.12 Εξωτερική γωνία – Ανισοτικές σχέσεις – Τριγωνική ανισότητα

Κάθε εξωτερική γωνία τριγώνου είναι μεγαλύτερη από καθεμία από τις απέναντι εσωτερικές (και, αργότερα, ίση με το άθροισμά τους).

Σε κάθε τρίγωνο, απέναντι από μεγαλύτερη πλευρά βρίσκεται μεγαλύτερη γωνία, και αντίστροφα.

3.13 Κάθετες και πλάγιες

Το κάθετο τμήμα από σημείο προς ευθεία είναι μικρότερο από κάθε πλάγιο.

3.14–3.16 Σχετικές θέσεις ευθείας και κύκλου – Εφαπτόμενα τμήματα – Σχετικές θέσεις δύο κύκλων

Αν δ η απόσταση του κέντρου από την ευθεία: δ > ρ εξωτερική, δ = ρ εφαπτομένη, δ < ρ τέμνουσα.

Η εφαπτομένη είναι κάθετη στην ακτίνα στο σημείο επαφής.

Τα εφαπτόμενα τμήματα από ένα εξωτερικό σημείο είναι ίσα· η διάκεντρος διχοτομεί τη γωνία τους.

4.1–4.3 Παράλληλες ευθείες – Παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη

Αίτημα παραλληλίας: από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μία μόνο παράλληλη προς αυτή.

Δύο παράλληλες τεμνόμενες από τρίτη σχηματίζουν: εντός εναλλάξ ίσες, εντός εκτός και επί τα αυτά ίσες, εντός και επί τα αυτά παραπληρωματικές.

4.4, 4.7 Γωνίες με πλευρές παράλληλες ή κάθετες

Δύο γωνίες με πλευρές παράλληλες (ή κάθετες) μία προς μία είναι ίσες αν είναι και οι δύο οξείες (ή και οι δύο αμβλείες), και παραπληρωματικές αν η μία είναι οξεία και η άλλη αμβλεία.

4.5 Αξιοσημείωτοι κύκλοι τριγώνου

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών διέρχονται από το ίδιο σημείο O, το περίκεντρο: κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου.

Οι διχοτόμοι των γωνιών διέρχονται από το ίδιο σημείο I, το έγκεντρο: κέντρο του εγγεγραμμένου κύκλου.

4.6 Άθροισμα γωνιών τριγώνου

Κάθε εξωτερική γωνία ισούται με το άθροισμα των δύο απέναντι εσωτερικών.

4.8 Άθροισμα γωνιών κυρτού ν-γώνου

5.1–5.2 Παραλληλόγραμμο – Ιδιότητες παραλληλογράμμου

Τετράπλευρο με τις απέναντι πλευρές παράλληλες.

Ιδιότητες: απέναντι πλευρές ίσες, απέναντι γωνίες ίσες, διαδοχικές γωνίες παραπληρωματικές, οι διαγώνιοι διχοτομούνται· το σημείο τομής τους είναι κέντρο συμμετρίας.

Κριτήρια: ένα τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο αν ισχύει ένα από τα: απέναντι πλευρές ανά δύο παράλληλες· ανά δύο ίσες· δύο απέναντι πλευρές ίσες και παράλληλες· απέναντι γωνίες ανά δύο ίσες· οι διαγώνιοι διχοτομούνται.

5.3 Ορθογώνιο

Παραλληλόγραμμο με μία ορθή γωνία (άρα όλες ορθές).

Οι διαγώνιοί του είναι ίσες (και διχοτομούνται).

5.4–5.5 Ρόμβος – Τετράγωνο

Ρόμβος: παραλληλόγραμμο με δύο διαδοχικές πλευρές ίσες (άρα όλες ίσες). Οι διαγώνιοί του είναι κάθετες και διχοτομούν τις γωνίες του.

Τετράγωνο: είναι ορθογώνιο και ρόμβος μαζί: διαγώνιοι ίσες, κάθετες, διχοτομούνται και διχοτομούν τις γωνίες (45°).

5.6 Εφαρμογές στα τρίγωνα (ευθεία των μέσων)

Το τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών τριγώνου είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της.

Αντίστροφα: η ευθεία από το μέσο μιας πλευράς, παράλληλη προς μια δεύτερη πλευρά, διέρχεται από το μέσο της τρίτης.

5.7 Βαρύκεντρο τριγώνου

Οι τρεις διάμεσοι τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο G, το βαρύκεντρο, που απέχει από κάθε κορυφή τα 23 της αντίστοιχης διαμέσου.

5.8, 5.12 Ορθόκεντρο – Αξιοσημείωτα σημεία τριγώνου

Οι φορείς των τριών υψών διέρχονται από το ίδιο σημείο H, το ορθόκεντρο.

5.9 Μία ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου

Η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ισούται με το μισό της υποτείνουσας.

Αν σε ορθογώνιο τρίγωνο μια γωνία είναι 30°, η απέναντι κάθετη πλευρά είναι το μισό της υποτείνουσας (και αντίστροφα).

5.10–5.11 Τραπέζιο – Ισοσκελές τραπέζιο

Τραπέζιο: τετράπλευρο με μόνο δύο πλευρές παράλληλες (βάσεις).

Ισοσκελές τραπέζιο: οι μη παράλληλες πλευρές ίσες· οι γωνίες κάθε βάσης ίσες και οι διαγώνιοι ίσες.

6.1–6.2 Επίκεντρη γωνία – Σχέση εγγεγραμμένης και επίκεντρης

Εγγεγραμμένη γωνία (κορυφή στον κύκλο, πλευρές χορδές) ισούται με το μισό της επίκεντρης που βαίνει στο ίδιο τόξο.

Εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει σε ημικύκλιο είναι ορθή.

6.3 Γωνία χορδής και εφαπτομένης

Η γωνία που σχηματίζει μια χορδή με την εφαπτομένη στο άκρο της ισούται με την εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής (από την άλλη μεριά).

6.4 Γεωμετρικοί τόποι

Γεωμετρικός τόπος είναι το σύνολο των σημείων που έχουν μια κοινή ιδιότητα.

6.5–6.6 Εγγεγραμμένο τετράπλευρο – Εγγράψιμο τετράπλευρο

Ένα τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο έχει τις απέναντι γωνίες παραπληρωματικές και κάθε εξωτερική γωνία ίση με την απέναντι εσωτερική.

Εγγράψιμο είναι ένα τετράπλευρο αν ισχύει ένα από τα: δύο απέναντι γωνίες παραπληρωματικές· μια εξωτερική γωνία ίση με την απέναντι εσωτερική· μια πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές με ίσες γωνίες.